Analisi matematica di base
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Ciao ragazzi! Era da un po' che non scrivevo! Facendo esercizi, mi sono imbattuto in questa serie $ sum ((e^(ni)-1) (2n+i))/(n^3+i) $. Ho provato a risolvere l'esercizio con scarsi risultati. Ho provato a scindere la serie nella parte reale ed in quella immaginaria, ma già da qui ho avuto problemi! Qualcuno ha una dritta da darmi?

Salve a tutti
ho il seguente problema:
Sono assegnate le funzioni in $x$ $(x^4+ax^2+b)/(x^2+1)$ dove a,b sono parametri reali.
Fra le funzioni $f(x)$ trovare quella per cui la curva k di equazione y=f(x) sia tangente all'asse x in 2 punti distinti.
Soluzione:
$f'(x)=2x(x^4+2x^2+a-b)/(x^2+1)^2$
La derivata si annulla in $x=0$ però deve annullarsi in almeno un altro punto .
$x^4+2x^2+a-b=0$
$t=x^2$
$t^2+2t+a-b=0$
$t=-1\pm \sqrt(1-a+b)$
$1-a+b>0$
Però mi sembra ...

Salve a tutti, sono uno studente del politecnico in informatica. La questione che mi urge è la seguenete:
Provare per induzione che $sum_(i = 0)^(n) i^4 = (n*(n+1)*(2n+1)*(3*n^2 + 3*n -1))/30$ è vera.
Ora: - Basic step: n = 0 $(0*(0+1)*(2*0 + 1)*(3*0^2 + 3*0 -1))/ 30 = 0$, dunque giusto.
- Inductive step: n = n+1 $sum_(i = 0)^(n+1) i^4 = (sum_(i = 0)^(n) i^4) + (n+1)^4 = (n*(n+1)*(2n+1)*(3*n^2 + 3*n -1))/30 + (n+1)^4 = ((n+1)*(n*(2*n+1)(3*n^2 + 3*n -1)) + 30(n+1)^3)/30$ ...
Da qui in avanti mi sono bloccato, è un ora che ci sto dietro ma nn riesco ad andare avanati. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo

Ciao ragazzi.
Sto aiutando la mia ragazza a preparare Analisi II e ci è capitato sotto mano un esercizio sulle forme differenziali. Guardando la soluzione che fornisce la Prof, c'è qualcosa che non mi torna magari (anzi, probabilmente) mi sbaglio, ma l'esercizio non va risolto cosi...
La forma differenziale è questa:
\[\omega(x,y)=\dfrac{-6xy}{(3x^2+y^2)^2}dx+\dfrac{3x^2-y^2}{(3x^2+y^2)^2}dy\]
La soluzione della Prof è la seguente:
I coefficienti della forma differenziale sono ...

Salve a tutti,
devo studiare l'andamento della soluzione di questa equazione differenziale
\(\displaystyle e^t(y-1)y' = (e^t-1)y^{2} \)
Quello che sono riuscita a fare è ridurmi a studiare la funzione nella forma
\(\displaystyle y' = \frac{(e^t-1)}{e^t}\frac{y^2} {y-1} \)
Ora studiandolo come un problema di Cauchy riesco a dimostrare che ha un unica soluzione su tutto \(\displaystyle {R^2} \) e che le soluzioni hanno qualitativamente lo stesso andamento sopra e sotto l'asse y e che non la ...

Ho questa serie di funzione:
$\sum (n*log(1+x/n))/((x+n)^2)$
devo vedere per quale x converge.
Ho posto che:
1+x/n = 1
x/n = 0 $x=0$
e x/n >0 -> $x>0$
oppure
$x/n > -1$
perchè però il libro dice che la $x$ che ci serve affinchè converga puntualmente sia: $x>-1$?
ho questo limite $lim_(x->4)(sqrt(2x+1)-3)/(sqrt(x-2)-sqrt(2))$ e prima razionalizzo per $sqrt(2x+1)+3$ sia al numeratore che al denominatore e successivamente razionalizzo ancora per $sqrt(x-2)+sqrt(2)$ fino ad ottenere $(sqrt(2)+sqrt(2))/(sqrt(9)+3)$ ho ragionato esattamente?

Questo è un esercizio semplice semplice (ormai), adatto ad ogni studente di Analisi I.
***
Esercizio:
Dimostrare che l'assegnazione:
\[
f(x):= \frac{2}{\pi}\, \intop_0^\infty \frac{x^2}{t^2+x^2}\, \text{d} t
\]
definisce una funzione continua in \(\mathbb{R}\).
Suggerimento: L'integrale si può calcolare esplicitamente...
***
Dopo che qualcuno avrà postato la soluzione, posterò una breve nota storica in merito.

Salve a tutti mi sono imbattuto in alcuni esercizi e non riesco a capire come disegnare il domino.
\[T={(x,y)\epsilon [-1,1] X R:x^2\leq y\leq 1}\]
Cioè la x sta tra -1 ed 1 e la y tra le due funzioni?E' il prodotto cartesiano tra [-1,1] X R che non mi è chiaro.

Data una funzione $f:[0,1]^n\to\RR$ sufficientemente regolare, facendone lo sviluppo di Taylor all'ordine 2 abbiamo che
$|f(y_1,..,y_n)-f(x_1,..,x_n)|<=|\sum_{i=1}^n (\partial f)/(\partial x_i) (x_1,..,x_n)*(y_i-x_i)|+\sum_{i,j=1}^n max|(\partial^2 f)/(\partial x_i \partial x_j)|*|y_i-x_i|*|y_j-x_j|$
Ora io avrei bisogno di eliminare dalla stima le derivate seconde pure (ovvero i termini della seconda sommatoria con $i=j$).
E' possibile farlo in qualche modo?
ho questo limite $(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(x^2)$ dopo vari passaggi ottengo $((2x)(sqrt(1+x)-sqrt(1-x)))/(2x^3)$ ho razionalizzato bene?

Siccome mi sto apprestando allo studio della trasformata di Laplace volevo sapere quando entra in gioco la funzione gamma e come si utilizza grazie per l'aiuto

Se $mathcal{H}$ è uno spazio di Hilbert è $\overline{M}=M\subseteq mathcal{H}$ allora $mathcal{H}=M\oplus N$, dove $N$ è il complemento ortogonale di $M$.
Dove posso trovare una dimostrazione?
Ho il seguente esercizio di analisi 2:
"Sia $L: \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ un'applicazione lineare e sia $A\in\mathbb{M}^{m,n}(\mathbb{R})$ la sua matrice associata rispetto alle basi canoniche. Dimostrare che, rispetto alla norma $||.||_{\infty}$, sia su $\mathbb{R}^n$ che su $\mathbb{R}^m$, l'applicazione lineare $L$ è limitata e vale, sempre rispetto a queste norme
$||L||=\max_{i}{\sum_{j}|a_{ij}|}$
dove $a_{ij},i=1,..,m$ e $j=1,..,n$ sono gli elementi della matrice A."
La mia soluzione è la seguente:
Ho ...
ho questo limite $lim_(x->7)(2-sqrt(x-3))/(x^2-49)$ me lo svolgo e ho $(-x+7)/((x^2-49)(2+sqrt(x-3)))$ allora per semplificare numeratore e denominatore ho posto al denominatore $-(-x+7)^2$ quando però poi devo sostituire per arrivare al risultato devo avere $x+7$ ma con quel $-$ davanti ho $x-7$ e da qui non mi risulta il limite dove sbaglio???

Salve a tutti, ecco il motivo per il precedente topic sull'integrale
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) sqrt(1-cos(x))dx$
Questo integrale deriva dalla Geometria e salta fuori dalla seguente definizione:
" Siano $ D sube RR^3$ ed $F : D ->RR$ una funzione. Sia $f:[a,b] -> C sube B$ una curva parametrizzata; allora definiamo l'integrale curvilineo di I specie di $F$ lungo $f$ come:
$\int_(f) (F) df= \int_(a)^(b) (F o f)|f '| dt$ "
Comunque non sarei nella sezione giusto se la questione non fosse strettamente legata ...

Ciao, amici!
Sto studiando alcuni teoremi sui limiti in $RR^n$, nella fattispecie i teoremi di Bolzano-Weierstrass ("ogni successione limitata di $RR^n$ ammette una sottosuccessione convergente"), di Heine-Borel ("un sottoinsieme $K$ di $RR^n$ è chiuso e limitato se e soltanto se ogni sua successione ammette una sottosuccessione convergente ad un limite in $K$") e di Heine-Cantor ("sia \(\textbf{f}:K \subset \mathbb{R}^n \rightarrow ...
Come calcolo la L-trasformata della funzione :
\(\displaystyle e^{4t} sin (3t) u(t - \frac{\pi}{3}) \) ?
Salve a tutti, ho un dubbio su questo integrale semplice, poichè il mio risultato non combacia con il risultato di wolframalpha;
l'integrale è il seguente :
$ int_( )^( ) sqrt(x)/(x+3) dx $
Dopo aver fatto opportuna sostituzione $x=t^2 , dx=2tdt$ e sfruttata la linearità dell'integrale arrivo a
$2[ int_( )^( ) 1 dt $ - $ int_( )^( ) 3/(t^2+3) dt ]$
quindi dividendo numeratore e denominatore per 3 il secondo diventa:
$ int_( )^( ) 1/(t^2/3+1) dt $
$ int_( )^( ) 1/((t/sqrt3)^2+1) dt $
e quindi se non erro, il risultato dovrebbe ...

Salve ragazzi, so che su questi argomenti non dovrei avere problemi ma questa è una tipologia di integrali che non ho mai avuto modo di studiare. Ho questa espressione:
$lim_(n ) int_(0)^(+infty) dx/(1+x^n)$.
Il mio libro dice che tutto fa $1$ ma io non mi trovo. Ho problemi a risolvere l'integrale. Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?