Esercizio teorico
Ho il seguente esercizio di analisi 2:
"Sia $L: \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ un'applicazione lineare e sia $A\in\mathbb{M}^{m,n}(\mathbb{R})$ la sua matrice associata rispetto alle basi canoniche. Dimostrare che, rispetto alla norma $||.||_{\infty}$, sia su $\mathbb{R}^n$ che su $\mathbb{R}^m$, l'applicazione lineare $L$ è limitata e vale, sempre rispetto a queste norme
$||L||=\max_{i}{\sum_{j}|a_{ij}|}$
dove $a_{ij},i=1,..,m$ e $j=1,..,n$ sono gli elementi della matrice A."
La mia soluzione è la seguente:
Ho l'applicazione lineare $L:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, e l'associata A, matrice $m\for n$ rispetto alla basi canoniche di $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^m$. Quindi ho che, date le basi canoniche $(e_1,..,e_j,..,e_n)$ e $(e_1,..,e_i,..,e_m)$, il vettore $x\in\mathbb{R}^n$ pu\'o essere scritto come
$x=\sum_{j=1}^{n}e_j a_{ij}$
mentre la sua immagine $L[x]\in\mathbb{R}^m$ pu\'o essere scritta come
$L[x]=\sum_{i=1}^{m}e_i x_i=\sum_{i=1}^{m}e_i(\sum_{j=1}^{n}e_j a_{ij})=\sum_{i,j=1}^{m,n}e_i e_j a_{ij}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}$
Da cui troviamo che
$||L||_{\infty}=$sup${\frac{{||L[x]||_{\infty}}}{||x||_{\infty}}}=$sup${\frac{||\sum_{i,j=1}^{m,n}a_{ij}||_{\infty}}{||\sum_{i=1}^{m}a_{ij}||_{\infty}}}$
So che
$||\sum_{i,j=1}^{m,n}a_{ij}||_{\infty}=\max_{i,j}{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|}$
$||\sum_{i=1}^{m}a_{ij}||_{\infty}=\max_j{\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|}$
ma essendo il $\max$ una funzione lineare, ho che
$||\sum_{i,j=1}^{m,n}a_{ij}||_{\infty}=\max_i{\max_j{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|}=\max_i{\sum_{j=1}^{n}(\max_j{\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|})}$
e quindi
$\frac{||\sum_{i,j=1}^{m,n}a_{ij}||_{\infty}}{||\sum_{i=1}^{m}a_{ij}||_{\infty}}=\frac{\max_i{\sum_{j=1}^{n}(\max_j{\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|}r)}}{\max_j{\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|}}=\max_{i}{\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|}\in\mathbb{R}$
e allora
$||L||_{\infty}=\max_{i}{\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|}$
Sono sulla strada giusta? Premetto che non ho dato algebra quindi mi incasino un bel po' con matrici associate eccetera!
"Sia $L: \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ un'applicazione lineare e sia $A\in\mathbb{M}^{m,n}(\mathbb{R})$ la sua matrice associata rispetto alle basi canoniche. Dimostrare che, rispetto alla norma $||.||_{\infty}$, sia su $\mathbb{R}^n$ che su $\mathbb{R}^m$, l'applicazione lineare $L$ è limitata e vale, sempre rispetto a queste norme
$||L||=\max_{i}{\sum_{j}|a_{ij}|}$
dove $a_{ij},i=1,..,m$ e $j=1,..,n$ sono gli elementi della matrice A."
La mia soluzione è la seguente:
Ho l'applicazione lineare $L:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, e l'associata A, matrice $m\for n$ rispetto alla basi canoniche di $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^m$. Quindi ho che, date le basi canoniche $(e_1,..,e_j,..,e_n)$ e $(e_1,..,e_i,..,e_m)$, il vettore $x\in\mathbb{R}^n$ pu\'o essere scritto come
$x=\sum_{j=1}^{n}e_j a_{ij}$
mentre la sua immagine $L[x]\in\mathbb{R}^m$ pu\'o essere scritta come
$L[x]=\sum_{i=1}^{m}e_i x_i=\sum_{i=1}^{m}e_i(\sum_{j=1}^{n}e_j a_{ij})=\sum_{i,j=1}^{m,n}e_i e_j a_{ij}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}$
Da cui troviamo che
$||L||_{\infty}=$sup${\frac{{||L[x]||_{\infty}}}{||x||_{\infty}}}=$sup${\frac{||\sum_{i,j=1}^{m,n}a_{ij}||_{\infty}}{||\sum_{i=1}^{m}a_{ij}||_{\infty}}}$
So che
$||\sum_{i,j=1}^{m,n}a_{ij}||_{\infty}=\max_{i,j}{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|}$
$||\sum_{i=1}^{m}a_{ij}||_{\infty}=\max_j{\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|}$
ma essendo il $\max$ una funzione lineare, ho che
$||\sum_{i,j=1}^{m,n}a_{ij}||_{\infty}=\max_i{\max_j{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|}=\max_i{\sum_{j=1}^{n}(\max_j{\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|})}$
e quindi
$\frac{||\sum_{i,j=1}^{m,n}a_{ij}||_{\infty}}{||\sum_{i=1}^{m}a_{ij}||_{\infty}}=\frac{\max_i{\sum_{j=1}^{n}(\max_j{\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|}r)}}{\max_j{\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|}}=\max_{i}{\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|}\in\mathbb{R}$
e allora
$||L||_{\infty}=\max_{i}{\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|}$
Sono sulla strada giusta? Premetto che non ho dato algebra quindi mi incasino un bel po' con matrici associate eccetera!
Risposte
se è un argomento di algebra c'è l'apposita sezione!
ma è un esercizio che ci hanno dato ad analisi 2 quindi ho postato qua...
Va bene qua. Ma attenzione che salta all'occhio un primo errore: il massimo non è una funzione lineare come dici tu. Non puoi portare la somma fuori dal segno di max.
ok grazie mille....quindi come posso impostarlo?...qualche consiglio?
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