Studio qualitativo equazione differenziale
Salve a tutti,
devo studiare l'andamento della soluzione di questa equazione differenziale
\(\displaystyle e^t(y-1)y' = (e^t-1)y^{2} \)
Quello che sono riuscita a fare è ridurmi a studiare la funzione nella forma
\(\displaystyle y' = \frac{(e^t-1)}{e^t}\frac{y^2} {y-1} \)
Ora studiandolo come un problema di Cauchy riesco a dimostrare che ha un unica soluzione su tutto \(\displaystyle {R^2} \) e che le soluzioni hanno qualitativamente lo stesso andamento sopra e sotto l'asse y e che non la possono mai intersecare (per unicità della soluzione, y è soluzione stazionaria). Riesco a studiare la crescenza e a dimostrare che per t=0 avrò un minimo per le y positive e un massimo per le y negative.
Non riesco però a studiare i limiti della funzione per trovare eventuali asintoti. Facendo i limiti della funzione scopro che potrei avere sia un asintoto verticale che un asintoto obliquo (escludo l'asintoto orizzontale) ma come faccio a sapere in quale dei due casi mi trovo?
Spero che il mio procedimento sia corretto, purtroppo non ho molti esempi svolti su esercizi di questo genere e anche on line non trovo granchè.
Grazie a quanti vorranno rispondere!
devo studiare l'andamento della soluzione di questa equazione differenziale
\(\displaystyle e^t(y-1)y' = (e^t-1)y^{2} \)
Quello che sono riuscita a fare è ridurmi a studiare la funzione nella forma
\(\displaystyle y' = \frac{(e^t-1)}{e^t}\frac{y^2} {y-1} \)
Ora studiandolo come un problema di Cauchy riesco a dimostrare che ha un unica soluzione su tutto \(\displaystyle {R^2} \) e che le soluzioni hanno qualitativamente lo stesso andamento sopra e sotto l'asse y e che non la possono mai intersecare (per unicità della soluzione, y è soluzione stazionaria). Riesco a studiare la crescenza e a dimostrare che per t=0 avrò un minimo per le y positive e un massimo per le y negative.
Non riesco però a studiare i limiti della funzione per trovare eventuali asintoti. Facendo i limiti della funzione scopro che potrei avere sia un asintoto verticale che un asintoto obliquo (escludo l'asintoto orizzontale) ma come faccio a sapere in quale dei due casi mi trovo?
Spero che il mio procedimento sia corretto, purtroppo non ho molti esempi svolti su esercizi di questo genere e anche on line non trovo granchè.
Grazie a quanti vorranno rispondere!
Risposte
Quando dividi per (y-1) perdi delle condizioni. Se non ho interpretato male la funzione può attraversare la retta y=1 solo in t=0. Inoltre come fai ad escludere l'asintoto orizzontale (per esempio y=0) ?
Hai scritto problema di Cauchy ma non hai nessun dato iniziale... (come mi ha preceduto francicko) puoi sempre separare le variabili?
Sì, effettivamente so che dividendo per (y-1) perdo delle condizioni...ma non saprei studiarlo diversamente!
Ho scritto problema di Cauchy perchè la mia idea era di studiare l'equazione ponendo come condizioni iniziali
\(\displaystyle y(\alpha) = \xi\ con\ \alpha >1, 0<\alpha<1, \alpha<0 \)
dividendo i 3 casi, ma forse è troppo macchinoso? Aiuto, non so proprio come fare!
Con questo metodo supponevo che non avesse asintoto orizzontale quando studiavo il caso \(\displaystyle \alpha>1 \) poichè la mia funzione cresce nel primo quadrante al di sopra di y=1.
Ho scritto problema di Cauchy perchè la mia idea era di studiare l'equazione ponendo come condizioni iniziali
\(\displaystyle y(\alpha) = \xi\ con\ \alpha >1, 0<\alpha<1, \alpha<0 \)
dividendo i 3 casi, ma forse è troppo macchinoso? Aiuto, non so proprio come fare!
Con questo metodo supponevo che non avesse asintoto orizzontale quando studiavo il caso \(\displaystyle \alpha>1 \) poichè la mia funzione cresce nel primo quadrante al di sopra di y=1.
Sono del parere che tu debba studiare ogni caso singolarmente...
Supponiamo che il dato iniziale sia \(y(t_0)=0\): che succede?
Supponiamo che il dato iniziale sia \(y(t_0)=0\): che succede?
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