[EX] Un esempio "storico"

[gugo82]

Questo è un esercizio semplice semplice (ormai), adatto ad ogni studente di Analisi I.

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Esercizio:

Dimostrare che l'assegnazione:
\[
f(x):= \frac{2}{\pi}\, \intop_0^\infty \frac{x^2}{t^2+x^2}\, \text{d} t
\]
definisce una funzione continua in \(\mathbb{R}\).

Suggerimento: L'integrale si può calcolare esplicitamente...

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Dopo che qualcuno avrà postato la soluzione, posterò una breve nota storica in merito.

[Plepp]

Confesso di aver letto il suggerimento Data l'ora non ne sono sicuro, ma...

La funzione che ne viene fuori è $|x|$, continua in $RR$.

[Sk_Anonymous]

L'integrale si può riscrivere come $(2/pi)*[lim_(t->oo) x*arctan(t/x)]$, per ogni $x in RR$ diverso da zero, giusto?
Per il teorema dell'unicità del limite, assegnato alla $x$ un valore $in RR$ escluso lo zero, si ottiene in uscita un solo numero, dunque si ha a che fare con una funzione.

[gugo82]

"lisdap":L'integrale si può riscrivere come $(2/pi)*[lim_(t->oo) x*arctan(t/x)]$, per ogni $x in RR$ diverso da zero, giusto?

Sì, quindi la soluzione è a portata di mano.
Ovviamente, per \(x=0\) questo procedimento non è lecito, però al risultato si arriva comunque in modo esplicito.

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Come promesso, ecco una breve nota storica sull'importanza di questo esercizietto.

La caratterizzazione delle funzioni continue, i.e. l'identificazione di una "buona" definizione di continuità, è stato uno dei primi problemi importanti che si è dovuto affrontare in Analisi dopo la pubblicazione del Théorie Analytique de la Chaleur di Fourier (1822).

Seguendo le idee di Eulero (1707 - 1783), la definizione di continuità adottata fino all'inizio del 1800 era di natura "globale" e, potremmo dire, "algebrica" (o, ancora meglio, "algoritmica"): infatti, era generalmente accettato che fossero definibili come continue tutte e sole le funzioni dotate di una singola espressione analitica, la quale rendeva possibile calcolarne il valore per ogni valore assunto dalla variabile indipendente.
Quindi, ad esempio, le funzioni \(e^{\sin x}\), \(\arctan \ln (x^2 +1)\), oppure \(\sqrt{2\cos x -\sin^2 x}\) sarebbero state chiamate subito continue all'epoca.
Al contrario, tutte le funzioni del tipo che oggi chiamiamo "definite per casi" sarebbero state dette discontinue al tempo di Eulero: tra queste funzioni c'è ovviamente il valore assoluto, poiché:
\[
\tag{VA} |x| := \begin{cases} x &\text{, se } x\geq 0 \\ -x &\text{, se } x\leq 0 .\end{cases}
\]

La definizione Euleriana di continuità cominciò ad entrare in crisi quando Fourier inventò gli sviluppi in serie che portano il suo nome (che apparvero nella suddetta Théorie Analytique): infatti, egli si accorse che molte funzioni definite in \([-\pi,\pi]\) ed ivi dicontinue nel senso di Eulero erano però dotate di uno sviluppo in serie del tipo:
\[
f(x) = \frac{1}{2\pi}\ \intop_{-\pi}^\pi f(t)\ \text{d} t + \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{\cos n x}{\pi}\ \intop_{-\pi}^\pi f(t)\, \cos nt\ \text{d} t + \frac{\sin n x}{\pi}\ \intop_{-\pi}^\pi f(t)\, \sin nt\ \text{d} t\right)\; ,
\]
il quale le rendeva continue nel senso di Eulero (perchè forniva un algoritmo per calcolarne i valori).
Ad esempio, la restrizione della funzione \(|x|\) all'intervallo \([-\pi ,\pi]\), ed ivi discontinua nel senso di Eulero, si scrive come serie di Fourier al modo che segue:
\[
|x| = \frac{\pi}{2} -\sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi\, (2k-1)^2}\ \cos (2k-1)x\; .
\]
Quindi i risultati di Fourier cominciavano a mostrare che la definizione Euleriana era del tutto insufficiente a caratterizzare le funzioni continue.

Più tardi, fu Cauchy (1789 - 1857) a riprendere in mano la stessa questione, mostrando che la continuità in senso Euleriano di una funzione poteva addirittura dipendere dal modo in cui essa veniva rappresentata.
Uno degli esempi di Cauchy (in una memoria del 1844, dal titolo Mémoire sur les Fonctions Continuées ou Discontinuées) era proprio quello proposto come Esercizio: infatti si ha:
\[
|x| = \sqrt{x^2} = \frac{2}{\pi}\ \int_{0}^\infty \frac{x^2}{t^2+x^2}\ \text{d} t
\]
per ogni \(x\); pertanto la funzione \(|x|\) riscritta come \(\sqrt{x^2}\) avrebbe avuto tutto il diritto di essere definita continua nel senso di Eulero, mentre non lo aveva se presentata usando la definizione (VA).

Anche questo genere di esempi contribuì a far accettare la definizione di continuità fornita da Cauchy fin dai suoi primi testi universitari, e.g. in Cours d'Analyse de l'École Royale Polithecnique (1821):

Sia \(f(x)\) una funzione della variabile \(x\) e si supponga che per ogni valore della variabile \(x\) compreso tra due limiti assegnati tale funzione prenda sempre valore unico e finito.
Per un valore fissato \(x\) tra i due limiti, se si attribuisce alla variabile un incremento infinitamente piccolo \(\alpha\), la funzione stessa cresce della differenza:
\[
f(x+\alpha) -f(x)
\]
la quale dipende simultaneamente dalla nuova variabile \(\alpha\) e dalla \(x\).
Fatto ciò, la funzione \(f(x)\) sarà chiamata continua tra i due limiti assegnati per la variabile \(x\) se, per ogni fissato valore della variabile \(x\) in mezzo ai due limiti, il valore numerico della differenza \(f(x+\alpha) -f(x)\) decresce indefinitamente con \(\alpha\).
In altre parole, la funzione \(f(x)\) sarà continua rispetto alla variabile \(x\) tra i limiti assegnati se, tra tali limiti, un incremento infinitamente piccolo della variabile produce sempre un incremento infinitamente piccolo nella funzione stessa.

Tale definizione sembra discostarsi molto da quella che oggi si trova sui libri di Analisi, perché non vi compaiono i quantificatori, né i vari \(\varepsilon\) e \(\delta\), né le disuguaglianze cui siamo abituati; lo stesso vale per la definizione di limite (cui la definizione di continuità è strettamente legata), che non è mai formalizzata in termini di \(\varepsilon\)-\(\delta\) e di disuguaglianze.
Tuttavia, se si vanno a leggere le dimostrazioni fornite da Cauchy nel Cours ci si accorge immediatamente che gli \(\varepsilon\) e le disuguaglianze facevano parte del modo in cui egli formalizzava le definizioni.
Come esempio, si può vedere la dimostrazione del seguente teorema dal Cours (che può essere preso come utile esercizio anche in un corso di Analisi I):

Se \(f(x)\) una funzione positiva per valori sufficientemente grandi della variabile \(x\) e se il rapporto:
\[
\frac{f(x+1)}{f(x)}
\]
tende al limite \(k\) quando \(x\) cresce indefinitamente, allora l'espressione:
\[
\Big( f(x)\Big)^{1/x}
\]
convergerà allo stesso limite.

la cui dimostrazione comincia esattamente con queste parole:

Si supponga, all'inizio, che il valore \(k\), necessariamente positivo, sia un numero finito e sia \(\varepsilon\) un numero piccolo quanto si vuole.
Dato che valori crescenti di \(x\) fanno convergere il rapporto:
\[
\frac{f(x+1)}{f(x)}
\]
al valore \(k\), è possibile trovare un numero \(h\) tanto grande che per \(x\) maggiore od uguale a \(h\) il suddetto rapporto è costantemente racchiuso tra i valori:
\[
k-\varepsilon ,\quad k+\varepsilon\; .
\]

Lascio ai lettori finire la dimostrazione.

[dissonance]

Bello!

[Seneca1]

Sì, è molto interessante!

Secondo me la storia delle idee matematiche ha un ruolo fondamentale nella comprensione del senso di ciò che si sta studiando... Grazie Gugo.

[gugo82]

Grazie per i complimenti, ragazzi.

[OT]

Quello che mi dà un po' fastidio è che alcune persone, specialmente quelle che insistono a cercare il pelo dell'uovo nelle definizioni, sono quelle cui meno importa di questi esempi...

[/OT]

[yellow2]

Anche a me è piaciuto molto. Ma mi piacciono abbastanza anche i dettagli delle definizioni. Anzi forse l'ho trovato particolarmente interessante proprio per quello!