Sviluppo di taylor: una leggera modifica...

[qwertyuio1]

Data una funzione $f:[0,1]^n\to\RR$ sufficientemente regolare, facendone lo sviluppo di Taylor all'ordine 2 abbiamo che
$|f(y_1,..,y_n)-f(x_1,..,x_n)|<=|\sum_{i=1}^n (\partial f)/(\partial x_i) (x_1,..,x_n)*(y_i-x_i)|+\sum_{i,j=1}^n max|(\partial^2 f)/(\partial x_i \partial x_j)|*|y_i-x_i|*|y_j-x_j|$

Ora io avrei bisogno di eliminare dalla stima le derivate seconde pure (ovvero i termini della seconda sommatoria con $i=j$).
E' possibile farlo in qualche modo?

[qwertyuio1]

Alla fine ho preso una strada un po' diversa, perciò riformulo il problema.

Sia $F:\RR^2\to\RR$ di classe $C^2$, dovrebbe essere vero che
$F(x,y)-F(x_0,y)-F(x,y_0)+F(x_0,y_0)$
si può scrivere come
$(x-x_0)*(y-y_0)*\int_0^1\int_0^t (\partial^2 F)/(\partial x\partial y)(sx+(1-s)x_0,sy+(1-s)y_0) ds\ dt$ .

Tuttavia probabilmente sto fondendo e non riesco a dimostrarlo. Secondo voi è vero? Mi date una mano a farlo vedere?

[qwertyuio1]

Ho trovato una scrittura un po' diversa che però mi va bene lo stesso:
$F(x,y)-F(x_0,y)-F(x,y_0)+F(x_0,y_0) = (F(x,y)-F(x_0,y))-(F(x,y_0)-F(x_0,y_0))$
uso il teorema fondamentale del calcolo
$= \int_{x_0}^x (\partial F)/(\partial\xi)(\xi,y) d\xi - \int_{x_0}^x (\partial F)/(\partial\xi)(\xi,y_0) d\xi =$
uso di nuovo il teorema fondamentale del calcolo
$= \int_{y_0}^y \partial/(\partial\eta)( \int_{x_0}^x (\partial F)/(\partial\xi)(\xi,\eta) d\xi\) d\eta = \int_{y_0}^y \int_{x_0}^x (\partial^2 F)/(\partial\eta\partial\xi)(\xi,\eta) d\xi\ d\eta$ .

Usando questo risultato e ancora il teorema fondamentale del calcolo, posso scrivere:
$F(x,y)-F(x_0,y_0) =$
$= (F(x,y)-F(x_0,y)-F(x,y_0)+F(x_0,y_0)) + (F(x,y_0)-F(x_0,y_0)) + (F(x_0,y)-F(x_0,y_0))=$
$= \int_{y_0}^y \int_{x_0}^x (\partial^2 F)/(\partial\eta\partial\xi)(\xi,\eta) d\xi\ d\eta + \int_{x_0}^x (\partial F)/(\partial\xi)(\xi,y_0) d\xi + \int_{y_0}^y (\partial F)/(\partial\eta)(x_0,\eta) d\eta$ .

Dunque, applicando la dis. triangolare ottengo:
$|F(x,y)-F(x_0,y_0)| <= |\int_{x_0}^x (\partial F)/(\partial\xi)(\xi,y_0) d\xi| + |\int_{y_0}^y (\partial F)/(\partial\eta)(x_0,\eta) d\eta| + |x-x_0|*|y-y_0|*max|(\partial^2 F)/(\partial x\partial y)|$

Ora mi potete aiutare a generalizzare questa scrittura al caso di una funzione di $n$ variabili?
Dovrei ottenere qualcosa del tipo:
$|F(x_1,..,x_n)-F(x_1^0,..,x_n^0)| <=$
$<=\sum_{i=1}^n |\int_{x_i^0}^{x_i} (\partial F)/(\partial\xi_i)(x_1^0,..,\xi_i,..,x_n^0) d\xi_i| + \sum_{i

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