Decomposizione di uno spazio di Hilbert
Se $mathcal{H}$ è uno spazio di Hilbert è $\overline{M}=M\subseteq mathcal{H}$ allora $mathcal{H}=M\oplus N$, dove $N$ è il complemento ortogonale di $M$.
Dove posso trovare una dimostrazione?
Dove posso trovare una dimostrazione?
Risposte
Innanzitutto, sai già che l'ortogonale di ogni sottospazio di uno spazio di Hilbert è un sottospazio chiuso? Oppure lo devi dimostrare?
In realtà io ho la dimostrazione. Solo che non riesco a ridurre i termini in modo comprensibile. Se $x \not \in M$ allora cerco $d(x,M)=\mbox{inf}_{y\ \in M}||y-x||$. Gli appunti dicono che per le proprietà dell'estremo inferiore esiste una successione $y_{n}\rightarrow \overline{y}$:$=||\overline{y}-x||=\mbox{inf}_{y\ \in M}||y-x||$. Si dimostra che $y_{n}$ è una successione di Cauchy quindi convergente. La dimostrazione continua.
Ora, $y\mapsto||y-x||$ e sono gli elementi $||y-x||$ al variare di $y$ che costituiscono l'insieme all'interno del quale devo trovare l'estremo inferiore. Se chiamo l'estremo inferiore $\overline{||y-x||}$ questo determina $\overline{y}$ come retroimmagine. Veniamo all'esistenza di una successione. La cosa più vicina che mi viene in mente è che posso identificare un chiuso con il limite di successioni di punti che vi appartengono e supponendo che l'estremo inferiore appartenga alla chiusura (mi sembra così pensando a $\mathbb{R}^{n}$) allora esiste una successione che vi tende. Però la successione non è quella delle $y_{n}$ come dicono gli appunti ma $||y-x||_{n}$ da cui posso individuare come retroimmagine $y_{n}$. Ma se $||z-x||=||y-x||$ non implica $z=y$ la successione non unica ed anche scegliendo nella retroimmagine una qualsiasi successione $y_{n}$ il limite $\overline{y}$ non è unico.
Ora, $y\mapsto||y-x||$ e sono gli elementi $||y-x||$ al variare di $y$ che costituiscono l'insieme all'interno del quale devo trovare l'estremo inferiore. Se chiamo l'estremo inferiore $\overline{||y-x||}$ questo determina $\overline{y}$ come retroimmagine. Veniamo all'esistenza di una successione. La cosa più vicina che mi viene in mente è che posso identificare un chiuso con il limite di successioni di punti che vi appartengono e supponendo che l'estremo inferiore appartenga alla chiusura (mi sembra così pensando a $\mathbb{R}^{n}$) allora esiste una successione che vi tende. Però la successione non è quella delle $y_{n}$ come dicono gli appunti ma $||y-x||_{n}$ da cui posso individuare come retroimmagine $y_{n}$. Ma se $||z-x||=||y-x||$ non implica $z=y$ la successione non unica ed anche scegliendo nella retroimmagine una qualsiasi successione $y_{n}$ il limite $\overline{y}$ non è unico.
Insomma, il contenuto geometrico della dimostrazione è questo.
Fisso \(x\) e, dato che \(M\) è un convesso (perché è addirittura sottospazio) e chiuso (per ipotesi), posso considerare la proiezione di \(x\) su \(M\) (che si dimostra esistere per ogni convesso chiuso... Questo è uno dei teoremi fondamentali per gli spazi di Hilbert!); detta \(y\) tale proiezione, considero \(w=x-y\) e faccio vedere che \(w\in N\); ma a tal punto \(x=y+w\), sicché \(X=M+N\); che la somma sia diretta, invece, discende dal fatto che \(N\) è ortogonale ad \(M\).
Il problema, qui, sembra che sia dimostrare il seguente teorema della proiezione:
L'esistenza di \(y\) si dimostra come segue.
Innanzitutto, se \(x\in C\), allora si può prendere \(y=x\).
Se \(x\notin C\), la funzione \(f(\eta):=\|x-\eta\|\) è continua in \(C\) e limitata dal basso (perché è positiva); conseguentemente esiste finito il \(\inf_{\eta \in C} f(\eta) = \ell\) e si ha pure \(\ell^2 =\inf_{\eta \in C} f^2(\eta)\).
Per definizione di estremo inferiore, esiste una successione minimizzante in \((y_n)\subseteq C\) per la funzione \(f^2\): infatti, prendendo \(\varepsilon =2^{-n}\) nella seconda proprietà dell'estremo inferiore, posso affermare che esiste un \(y_n\in C\) tale che \(\ell \leq f^2(y_n) =\|x-y_n\|^2\leq \ell +2^{-n}\), sicché \(f^2(y_n) \to \ell\).
La successione minimizzante \((y_n)\) è di Cauchy: invero per la regola del parallelogramma applicata ai vettori \(x-y_n,\ x-y_m\) si ha:
\[
\left\|x-\frac{y_n+y_m}{2}\right\|^2 +\left\|\frac{y_n-y_m}{2}\right\|^2 = \frac{1}{2}(f^2(y_n)+f^2(y_m))
\]
e, dato che \(\frac{y_n+y_m}{2} \in C\) implica \(\|\frac{y_n+y_m}{2}\|^2\geq \ell^2\), dalla precedente discende:
\[
\left\|\frac{y_n-y_m}{2}\right\|^2 \leq \frac{1}{2}(f^2(y_n)+f^2(y_m)) -\ell^2\; ;
\]
ora, essendo \((y_n)\) minimizzante per \(f^2\), si ha \(\lim_{n,m\to \infty} \frac{1}{2}(f^2(y_n)+f^2(y_m)) =\ell^2\) sicché prendendo \(n,m\) sufficientemente grando si ha \(\frac{1}{2}(f^2(y_n)+f^2(y_m)) -\ell^2 <\varepsilon\) (per \(\varepsilon >0\) fissato); perciò \((y_n)\) è di Cauchy.
Il fatto che \((y_n)\) sia di Cauchy in \(H\) implica che essa ha limite \(y\in H\) (\(H\) è completo); ma l'essere \(C\) chiuso implica \(y\in C\).
Si ha poi:
\[
f^2(y)=\lim_n f^2(y_n)=\ell^2
\]
e dunque \(f(y)=\ell\), cosicché \(y\) è un minimo di \(f\) in \(C\).
Il punto \(y\) è unico: invero, se per assurdo esistesse un altro \(y^\prime\in C\) con \(y^\prime \neq y\) tale che \(f(y^\prime) =\ell\), usando la regola del parallelogramma per i vettori \(x-y,\ x-y^\prime\) e tenendo presente che \(\|x-y\|^2=\ell^2 =\|x-y^\prime\|\) si avrebbe:
\[
0<\left\|\frac{y-y^\prime}{2}\right\|^2\leq \frac{1}{2}(\ell^2+\ell^2) -\ell^2=0
\]
il che è assurdo.
La proprietà geometrica che caratterizza il punto \(y\) la trovi sul Brezis, Thm 5.2.
Fisso \(x\) e, dato che \(M\) è un convesso (perché è addirittura sottospazio) e chiuso (per ipotesi), posso considerare la proiezione di \(x\) su \(M\) (che si dimostra esistere per ogni convesso chiuso... Questo è uno dei teoremi fondamentali per gli spazi di Hilbert!); detta \(y\) tale proiezione, considero \(w=x-y\) e faccio vedere che \(w\in N\); ma a tal punto \(x=y+w\), sicché \(X=M+N\); che la somma sia diretta, invece, discende dal fatto che \(N\) è ortogonale ad \(M\).
Il problema, qui, sembra che sia dimostrare il seguente teorema della proiezione:
Sia \(C\) un convesso chiuso non vuoto di uno spazio di Hilbert \(H\).
Comunque si fissi \(x\in H\) esiste un unico \(y\in C\) tale che:
\[
\| x-y\|=\min_{\eta \in C} \| x-\eta\| = \operatorname{dist} (x,C)\; .
\]
Inoltre, l'elemento \(y\in C\) è caratterizzato dalla proprietà seguente:
\[
\begin{cases}
y\in C\\
\forall \eta\in C,\quad \langle x-y,\eta-y\rangle \leq 0\; .
\end{cases}
\]
L'esistenza di \(y\) si dimostra come segue.
Innanzitutto, se \(x\in C\), allora si può prendere \(y=x\).
Se \(x\notin C\), la funzione \(f(\eta):=\|x-\eta\|\) è continua in \(C\) e limitata dal basso (perché è positiva); conseguentemente esiste finito il \(\inf_{\eta \in C} f(\eta) = \ell\) e si ha pure \(\ell^2 =\inf_{\eta \in C} f^2(\eta)\).
Per definizione di estremo inferiore, esiste una successione minimizzante in \((y_n)\subseteq C\) per la funzione \(f^2\): infatti, prendendo \(\varepsilon =2^{-n}\) nella seconda proprietà dell'estremo inferiore, posso affermare che esiste un \(y_n\in C\) tale che \(\ell \leq f^2(y_n) =\|x-y_n\|^2\leq \ell +2^{-n}\), sicché \(f^2(y_n) \to \ell\).
La successione minimizzante \((y_n)\) è di Cauchy: invero per la regola del parallelogramma applicata ai vettori \(x-y_n,\ x-y_m\) si ha:
\[
\left\|x-\frac{y_n+y_m}{2}\right\|^2 +\left\|\frac{y_n-y_m}{2}\right\|^2 = \frac{1}{2}(f^2(y_n)+f^2(y_m))
\]
e, dato che \(\frac{y_n+y_m}{2} \in C\) implica \(\|\frac{y_n+y_m}{2}\|^2\geq \ell^2\), dalla precedente discende:
\[
\left\|\frac{y_n-y_m}{2}\right\|^2 \leq \frac{1}{2}(f^2(y_n)+f^2(y_m)) -\ell^2\; ;
\]
ora, essendo \((y_n)\) minimizzante per \(f^2\), si ha \(\lim_{n,m\to \infty} \frac{1}{2}(f^2(y_n)+f^2(y_m)) =\ell^2\) sicché prendendo \(n,m\) sufficientemente grando si ha \(\frac{1}{2}(f^2(y_n)+f^2(y_m)) -\ell^2 <\varepsilon\) (per \(\varepsilon >0\) fissato); perciò \((y_n)\) è di Cauchy.
Il fatto che \((y_n)\) sia di Cauchy in \(H\) implica che essa ha limite \(y\in H\) (\(H\) è completo); ma l'essere \(C\) chiuso implica \(y\in C\).
Si ha poi:
\[
f^2(y)=\lim_n f^2(y_n)=\ell^2
\]
e dunque \(f(y)=\ell\), cosicché \(y\) è un minimo di \(f\) in \(C\).
Il punto \(y\) è unico: invero, se per assurdo esistesse un altro \(y^\prime\in C\) con \(y^\prime \neq y\) tale che \(f(y^\prime) =\ell\), usando la regola del parallelogramma per i vettori \(x-y,\ x-y^\prime\) e tenendo presente che \(\|x-y\|^2=\ell^2 =\|x-y^\prime\|\) si avrebbe:
\[
0<\left\|\frac{y-y^\prime}{2}\right\|^2\leq \frac{1}{2}(\ell^2+\ell^2) -\ell^2=0
\]
il che è assurdo.
La proprietà geometrica che caratterizza il punto \(y\) la trovi sul Brezis, Thm 5.2.
A quali proprietà dell'estremo inferiore fai riferimento?
"5mrkv":
A quali proprietà dell'estremo inferiore fai riferimento?
Quelle due ne sono... Indovina!?!
"gugo82":
[quote="5mrkv"]A quali proprietà dell'estremo inferiore fai riferimento?
Quelle due ne sono... Indovina!?!
[/quote]Non ho capito 
Le proprietà caratterisitche dell'estremo inferiore, che si studiano in Analisi I, sono due.
Io ne ho usata una soltanto... Indovina quale.
Io ne ho usata una soltanto... Indovina quale.
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