Un altro integrale doppio

[caffeinaplus]

Salve,
sto provando a svolgere questo integrale di cui non ho risultato ma credo di aver sbagliato in qualche passaggio che non riesco proprio a individuare.
L'integrale è

$int int_{D} x/(x^2+y^2)^2dxdy$ con $D={(x,y) in RR^2| x^2+y^2<=1, y>= 1-x}$

Ho fatto il mio disegno per rappresentare il dominio che passando alle polari

$x=rcosz, y=rsinz$ mi da come estremi di integrazione $0<=z<=pi/2$ e $1/(cosz+sinz)<=r<=1$

Il determinante della Jacobiana è come noto $r$ allora
$int_{0}^{pi/2}dz*int_{1/(cosz+sinz)}^{1} cosz/r^2dr$
$int_{0}^{pi/2}cosz*[1/(cosz+sinz)-1]dz$

Dunque

$int_{0}^{pi/2}cosz/(cosz+sinz)dz -[sinz]_{0}^{pi/2}$
$int_{0}^{pi/2}cosz/(cosz+sinz)dz -1$

Ora risolvo il primo integrale con uno dei metodi che abbiamo già visto nell'altro post e che sappiamo dare come risultato $pi/4$

Dunque il mio integrale vale $pi/4-1$ però mi aspettavo un valore positivo.

Una piccola nota, wolfram da come risultato $pi/4 -1/2$.

Grazie mille a tutti in anticipo

[Mephlip]

Fai bene ad aspettarti un valore positivo in quanto $f(x,y)=\frac{x}{(x^2+y^2)^2} \geq 0$ per ogni $(x,y)\inD$, quindi il tuo risultato è sicuramente errato; tuttavia l'errore sembra un errore di distrazione quando applichi il teorema fondamentale del calcolo integrale e non un errore concettuale sugli integrali doppi, infatti l'errore è qui

"caffeinaplus":
$int_{0}^{pi/2}dz*int_{1/(cosz+sinz)}^{1} cosz/r^2dr$
$int_{0}^{pi/2}cosz*[1/(cosz+sinz)-1]dz$

Devi sostituire $[-\frac{1}{r}]_{\frac{1}{\cosz + \sin z}}^1=\frac{1}{\frac{1}{\cos z + \sin z}}-1=\cos z + \sin z -1$.

[caffeinaplus]

Alla faccia che svista, tra l'altro lo facevo in modo così automatico che continuavo a fare male la sostituzione Grazie mille!
In questi casi, non so se sia utile per il forum eliminare la discussione o meno dato che si trattava di un errore di questo tipo.

Grazie ancora

[Mephlip]

Alla fine è pur sempre la risoluzione di un integrale doppio, può essere utile per qualcuno alle prime armi!
Prego!