Funzione di Dirichlet

[woow30]

"gugo82":Prendi una qualsiasi partizione e calcola esplicitamente le somme integrali inferiore e superiore secondo le definizioni. Quanto vengono?
Gli insiemi descritti dalle somme superiori ed inferiori sono contigui o no?

Tieni presente che $[a,b]=[0,1]$, che:

$f(x):=\{(1, ", se " x \in QQ \cap [0,1]),(0, ", se " x \in [0,1]\setminus QQ):}$

e che, presa una decomposizione $D:=\{0=x_0,x_1,\ldots ,x_(N-1),x_N=1\}$, hai:

$s(f; D) :=\sum_(i=1)^N "inf"_([x_(i-1),x_i]) f*(x_i-x_(i-1)) \quad$ somma integrale inferiore,

$S(f; D) :=\sum_(i=1)^N "sup"_([x_(i-1),x_i]) f*(x_i-x_(i-1)) \quad$ somma integrale superiore.

come mai l'estremo superiore delle somme superiori risulta uguale a 1? Considerando qualsiasi partizione p di n punti dell'intervallo [0,1] si possono considerare n sottointervalli del tipo [x i-1 , xi ] . Quindi considerando la somma superiore come la somma delle arre dei rettangoli che hanno per base l'ampiezza di ogni sottointervallo e come altezza il valore che la funzione assume nel massimo di ogni sottointervallo risulta che la somma superiore è data da: S(p) = Mi (xi - x i-1) . visto che in ogni sottointervallo è presente un numero irrazionale il massimo sarà 1 , mentre la base sarà (b-a)/n (dove b=1 e a=0 considerando l'intervallo [0,1]). Risulta quindi che S(p) = 1/n . Come faccio a concludere che S(p) è uguale a 1?

[gugo82]

Beh, se dimentichi di sommare…