Integrale doppio

[caffeinaplus]

Salve a tutti,
ho svolto questo integrale di cui non ho soluzione, per cui avrei bisogno di una correzione
(e di eventuali osservazioni per farlo in modo più intelligente / veloce )

Il mio risultato è $2pi +2ln(2)-5$

$ int int_D(2x+y)/(x^2+y^2) dx dy $

Dove $D$ è

il dominio contenuto nel primo quadrante, delimitato dall'arco di circonferenza $y=sqrt(1-x^2)$
e dalle rette
$y=2-x$,
$y=0$,
$x=0$

Mi viene inoltre richiesto esplicitamente di utilizzare le coordinate polari.

Ho dunque posto $x=rcos(z), y=rsin(z)$

E dunque il determinante della Jacobiana della trasformazione sarà $r$

Per gli estremi di integrazione ( dove ho il dubbio in particolare su $r$ ) dopo aver fatto un disegno del dominio

$0
dunque il mio integrale sarà

$int_{0}^{pi/2}dz*int_{1}^{2/(1+cos(z))}(2rcosz+rsinz)*r/r^2dr$

cioè $int_{0}^{pi/2}dz*int_{1}^{2/(1+cos(z))}(2cosz+sinz)dr$

Quindi $int_{0}^{pi/2}(2cosz+sinz)*(2/(1+cosz)-1)dz$

$2*int_{0}^{pi/2}(2cosz+sinz)/(1+cosz)dz -3$

$4int_{0}^{pi/2}cosz/(1+cosz)dz +2int_{0}^{pi/2}sinz/(1+cosz)dz -3$

$4int_{0}^{pi/2}cosz/(1+cosz)dz +2(-ln(1)+ln(2)) -3$

$4int_{0}^{pi/2}cosz/(1+cosz)dz 2ln(2) -3$

Per l'ultimo integrale rimasto ho riscritto il tutto in questo modo $4int_{0}^{pi/2}(1-1/(1+cosz))dz$

quindi $2pi -2*int_{0}^{pi/2}1/((1+cosz)/2)dz$

$2pi -2*int_{0}^{pi/2}1/cos^2(z/2)dz$

$2pi-2*(tan(pi/4)-tan(0)) = 2pi-2$


Mettendo tutto insieme si ha

$2pi+2ln(2)-5$

Grazie mille in anticipo

[pilloeffe]

Ciao caffeinaplus,

Non mi tornano le limitazioni, perché se $y >= sqrt{1 - x^2}$ e $x + y <= 2 $ passando in coordinate polari si ha:

$ r cos(z) + r sin(z) <= 2 \implies 1 <= r <= 2/(cos(z) + sin(z)) $ e $0 <= z <= \pi/2 $

[caffeinaplus]

Cavolo è vero, mi sono dimenticato del $sinz$
Appena posso lo posto con gli estremi corretti per una ulteriore correzione, grazie mille

[pilloeffe]

"caffeinaplus":grazie mille

Prego!
Se non ho fatto male i conti mi risulta

$ \int \int_D(2x+y)/(x^2+y^2) \text{d}x \text{d}y =\int_0^{\pi/2} (2cosz+sinz) (\int_1^{2/(cos(z) + sin(z))}\text{d}r) \text{d}z = 3/2 (\pi - 2) $

[caffeinaplus]

Mi trovo proprio il tuo risultato!
Per curiosità prima della tua risposta ero andato a controllare su Wolfram ma non so perchè riporta che l'integrale è un numero complesso

Io ho svolto l'integrale in questo modo, magari puoi dirmi dove si potrebbe migliorare per farlo in modo più agile

Partiamo dal dopo la sostituzione quando il mio integrale diventa

$int_{0}^{pi/2}(2cosz+sinz)*(2/(sinz+cosz)-1)dz$

$2 * int_{0}^{pi/2} (1 +cosz/(sinz+cosz))dz -int_{0}^{pi/2}(2cosz +sinz)dz$

Cioè

$pi -3 + 2int_{0}^{pi/2} (cosz)/(sinz+cosz)dz$

Io l'ultimo integrale l'ho risolto in questo modo, che mi sembra troppo pieno di passaggi che secondo me con qualche furbata si potevano evitare

$int_{0}^{pi/2}dz/(1+tanz)$ poi ho posto $tanz=q \Rightarrow lim_(b->+oo) int_{0}^{b} (dq)/((1+q)*(1+q^2))$

E poi si è trattato solo di scomporre e risolvere l'integrale risultante.

[Mephlip]

Per calcolare
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos z}{\sin z + \cos z} \text{d}z$$
Puoi procedere così: poni
$$I:=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos z}{\sin z + \cos z} \text{d}z$$
Sostituisci $\frac{\pi}{2}-z=u$: segue che $\text{d}z=-\text{d}u$, usando gli archi associati di ha
$$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos z}{\sin z + \cos z} \text{d}z=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2}-u\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-u\right) + \cos \left(\frac{\pi}{2}-u\right)} (-\text{d}u)=$$
$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin u}{\cos u + \sin u} \text{d}u$$
Dunque
$$2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{d}z=\frac{\pi}{2}\Rightarrow I=\frac{\pi}{4}$$

[pilloeffe]

Io avrei fatto semplicemente così:

$ \int \frac{cos z}{sin z + cos z} \text{d}z = 1/2 \int \frac{2cos z}{sin z + cos z} \text{d}z = 1/2 \int \frac{sin z + cos z + cos z - sin z}{sin z + cos z} \text{d}z = $
$ = 1/2 \int \text{d}z + 1/2 \int \frac{cos z - sin z}{sin z + cos z} \text{d}z = 1/2 z + 1/2 ln|sin z + cos z| + c $

[caffeinaplus]

Grazie mille a entrambi!