Th. permanenza del segno funzioni scalari a variabili vettoriali

[lorenzo1234567]

Buongiorno, nella dimostrazione del teorema della permanenza del segno il professore, facendo uso della definizione di continuità (\( \forall \varepsilon > 0\) \( \exists \delta > 0 \) $ : AAx \in dom(f)$ $|x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x_0) -$\(\varepsilon \)$0$ per \(\varepsilon \) scelti correttamente.
Fin qui niente di particolare, è praticamente lo stesso ragionamento che viene fatto per funzioni da $\RR$ in $\RR$.

Per il caso in cui $f(x)<0$ dice invece che dobbiamo avere $f(x_0)+$\(\varepsilon \)$<0$ e, per avere ciò, basta prendere $|f(x_0)|>$\(\varepsilon \). Ciò che però non mi torna è l'assenza di segno: con il modulo $f(x_0)$ può essere positiva. Sommando quindi $f(x_0)$ (positiva) a \(\varepsilon \) (positivo) otteremo comunque una quantità positiva, il che non dimostra niente. Sarebbe invece corretto se $f(x_0)$ fosse negativa e $>$\(\varepsilon \).

[Mephlip]

Credo che abbia ragione il professore, infatti se $f(x)<0$ segue che $|f(x)|=-f(x)$; dunque, se bisogna avere $f(x_0)+\varepsilon<0$, effettivamente prendendo $|f(x_0)|>\varepsilon$ si ha (per quanto detto prima sul valore assoluto se $f$ è negativa) che
$$|f(x_0)|>\varepsilon \Rightarrow -f(x_0)>\varepsilon \Rightarrow f(x_0)<-\varepsilon \Rightarrow f(x_0)+\varepsilon<0$$
Tuttavia potrei aver preso un granchio, non mi fido molto dei miei ragionamenti ultimamente se hai dubbi chiedi pure.

[lorenzo1234567]

"Mephlip":Credo che abbia ragione il professore, infatti se $f(x)<0$ segue che $|f(x)|=-f(x)$; dunque, se bisogna avere $f(x_0)+\varepsilon<0$, effettivamente prendendo $|f(x_0)|>\varepsilon$ si ha (per quanto detto prima sul valore assoluto se $f$ è negativa) che
$$|f(x_0)|>\varepsilon \Rightarrow -f(x_0)>\varepsilon \Rightarrow f(x_0)<-\varepsilon \Rightarrow f(x_0)+\varepsilon<0$$
Tuttavia potrei aver preso un granchio, non mi fido molto dei miei ragionamenti ultimamente se hai dubbi chiedi pure.

Ok, sono scemo io. Ha ragione per il semplice fatto che, appunto, $f(x)<0$ (che era il caso che mi tornava). L'altro caso, $f(x)>0$, è dimostrato in altro modo (e quindi il problema che non tornava a me col modulo non si pone).