Derivate parziali/direzionali, gradiente, differenziale
salve a tutti, ho due domande a cui non riesco a trovare una risposta certa quindi chiedo il vostro aiuto.
L'esistenza delle derivate parziali del primo ordine e delle derivate direzionali
implica la continuità della funzione?
Che relazione c'e tra differenziale, gradiente e derivata direzionale?
grazie a chi risponderà.
L'esistenza delle derivate parziali del primo ordine e delle derivate direzionali
implica la continuità della funzione?
Che relazione c'e tra differenziale, gradiente e derivata direzionale?
grazie a chi risponderà.
Risposte
"cardo80":
L'esistenza delle derivate parziali del primo ordine e delle derivate direzionali
implica la continuità della funzione?
No.
Considera $f(x,y) := \{(0, text(, se ) xy=0), (1, text(, altrimenti)):}$.
Per le derivate direzionali si possono costruire esempi simili.
"cardo80":
Che relazione c'e tra differenziale, gradiente e derivata direzionale?
Il differenziale è una mappa; se essa è lineare, il gradiente è il vettore che la rappresenta (rispetto alle basi canoniche) e la derivata direzionale è il valore di tale mappa su un fissato vettore.
Provo a risponderti anche se ho solo conoscenze da uno studio pre-corsi da autodidatta 
( quindi se scrivo qualche fesseria, se gentilmente me la spiegate per bene mi fate felice )
Il punto è che quando una funzione è differenziabile in un punto, vuol dire che puoi approssimarla in un modo decente con un piano in quel punto.
Il fatto che in quel punto la nostra $f$ sia così regolare da poter essere approssimata da un piano ( il mio testo lo chiama processo di linearizzazione ) vuol dire che i valori che assume sono tutti relativamente vicini al valore assunto da $f$, cioè al "limite coincidono" ($f$ differenziabile in un punto $\rArr$ che $f$ è continua in quel punto )
Il gradiente ti da solo un'idea di come la funzione si comporti lungo le direzioni principali.
Ovviamente se $f$ è così regolare da potersi approssimare con un piano, probabilmente si comporterà bene lungo tutte le direzioni (almeno localmente) e quindi questo ci dice che esistono le derivate parziali e direzionali nel punto ( $f$ differenziabile $rArr$ che esistono tutte le derivate parziali e direzionali nel punto)
Oltretutto le derivate direzionali e il gradiente sono legate da $nablaf * v = (df)/(dv)$ dove $f$ è differenziabile, perchè vista questa sorta di linearità, puoi vedere un po $(df)/(dv)$ come combinazione lineare delle derivate nelle direzioni principali.
Avrò scritto una marea di fesserie, però per chi come me è alle prime armi sull'argomento ( e come mi pare essere l'autore del post ) magari queste idee approssimative possono aiutare a vedere la cosa.
Non falciatemi per favore
( quindi se scrivo qualche fesseria, se gentilmente me la spiegate per bene mi fate felice )Il punto è che quando una funzione è differenziabile in un punto, vuol dire che puoi approssimarla in un modo decente con un piano in quel punto.
Il fatto che in quel punto la nostra $f$ sia così regolare da poter essere approssimata da un piano ( il mio testo lo chiama processo di linearizzazione ) vuol dire che i valori che assume sono tutti relativamente vicini al valore assunto da $f$, cioè al "limite coincidono" ($f$ differenziabile in un punto $\rArr$ che $f$ è continua in quel punto )
Il gradiente ti da solo un'idea di come la funzione si comporti lungo le direzioni principali.
Ovviamente se $f$ è così regolare da potersi approssimare con un piano, probabilmente si comporterà bene lungo tutte le direzioni (almeno localmente) e quindi questo ci dice che esistono le derivate parziali e direzionali nel punto ( $f$ differenziabile $rArr$ che esistono tutte le derivate parziali e direzionali nel punto)
Oltretutto le derivate direzionali e il gradiente sono legate da $nablaf * v = (df)/(dv)$ dove $f$ è differenziabile, perchè vista questa sorta di linearità, puoi vedere un po $(df)/(dv)$ come combinazione lineare delle derivate nelle direzioni principali.
Avrò scritto una marea di fesserie, però per chi come me è alle prime armi sull'argomento ( e come mi pare essere l'autore del post ) magari queste idee approssimative possono aiutare a vedere la cosa.
Non falciatemi per favore
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