Aiuto per formula ing meccanica
Ciao a tutti, sto studiando un argomento di meccanica e mi ritrovo un passaggio di questo tipo (vedere immagine) che non riesco a capire ... qualcuno sa aiutarmi??? grazie
EDIT
Facendo dei passi indietro forse qualcosina sono riuscito a capire ... questa è la formula iniziale:
In ogni caso non mi torna quel 2 al denominatore
EDIT
Facendo dei passi indietro forse qualcosina sono riuscito a capire ... questa è la formula iniziale:
In ogni caso non mi torna quel 2 al denominatore
Risposte
Ciao Cla1608,
Quale, se non sono indiscreto?
Partendo dalla formula iniziale e supponendo di poter fare tutte le operazioni che sto per fare:
$((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2 = sqrt{a/r_p} \implies (\nabla s)/(\nabla u) $[tex]\gg 1[/tex] se [tex]a/r_p \gg 1[/tex]
$[((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2]^2 = a/r_p $
$r_p = a/[((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2]^2 = (4a)/(1/((\nabla u)/(\nabla s)) - 1)^2 = (4a((\nabla u)/(\nabla s))^2)/(1 - (\nabla u)/(\nabla s))^2 $
A questo punto forse, confidando sul fatto che sia $|(\nabla u)/(\nabla s)| < 1 $, si è fatto uso dello sviluppo in serie della derivata della serie geometrica:
$ ((\nabla u)/(\nabla s))/(1 - (\nabla u)/(\nabla s))^2 = \sum_{k = 1}^{+\infty} k((\nabla u)/(\nabla s))^k $
Poi si è approssimato considerando il solo primo termine, quello per $k = 1 $.
Però non mi torna comunque il risultato evidenziato in rosso, nel quale oltretutto mi pare di intravedere delle cancellazioni: ne sei sicuro?
"Cla1608":
sto studiando un argomento di meccanica
Quale, se non sono indiscreto?
Partendo dalla formula iniziale e supponendo di poter fare tutte le operazioni che sto per fare:
$((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2 = sqrt{a/r_p} \implies (\nabla s)/(\nabla u) $[tex]\gg 1[/tex] se [tex]a/r_p \gg 1[/tex]
$[((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2]^2 = a/r_p $
$r_p = a/[((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2]^2 = (4a)/(1/((\nabla u)/(\nabla s)) - 1)^2 = (4a((\nabla u)/(\nabla s))^2)/(1 - (\nabla u)/(\nabla s))^2 $
A questo punto forse, confidando sul fatto che sia $|(\nabla u)/(\nabla s)| < 1 $, si è fatto uso dello sviluppo in serie della derivata della serie geometrica:
$ ((\nabla u)/(\nabla s))/(1 - (\nabla u)/(\nabla s))^2 = \sum_{k = 1}^{+\infty} k((\nabla u)/(\nabla s))^k $
Poi si è approssimato considerando il solo primo termine, quello per $k = 1 $.
Però non mi torna comunque il risultato evidenziato in rosso, nel quale oltretutto mi pare di intravedere delle cancellazioni: ne sei sicuro?
"pilloeffe":
Ciao Cla1608,
[quote="Cla1608"]sto studiando un argomento di meccanica
Quale, se non sono indiscreto?
Partendo dalla formula iniziale e supponendo di poter fare tutte le operazioni che sto per fare:
$((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2 = sqrt{a/r_p} \implies (\nabla s)/(\nabla u) $[tex]\gg 1[/tex] se [tex]a/r_p \gg 1[/tex]
$[((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2]^2 = a/r_p $
$r_p = a/[((\nabla s)/(\nabla u) - 1)\cdot 1/2]^2 = (4a)/(1/((\nabla u)/(\nabla s)) - 1)^2 = (4a((\nabla u)/(\nabla s))^2)/(1 - (\nabla u)/(\nabla s))^2 $
A questo punto forse, confidando sul fatto che sia $|(\nabla u)/(\nabla s)| < 1 $, si è fatto uso dello sviluppo in serie della derivata della serie geometrica:
$ ((\nabla u)/(\nabla s))/(1 - (\nabla u)/(\nabla s))^2 = \sum_{k = 1}^{+\infty} k((\nabla u)/(\nabla s))^k $
Poi si è approssimato considerando il solo primo termine, quello per $k = 1 $.
Però non mi torna comunque il risultato evidenziato in rosso, nel quale oltretutto mi pare di intravedere delle cancellazioni: ne sei sicuro?[/quote]
Ciao, la formula l ho scritta a mano e sono sicuro di averla trascritta bene. La formula è di meccanica della frattura e indica la tensione max all apice della cricca approssimata alla geometria di un ellisse corda grande 2a e corda piccola 2b ... Rp rappresenta la estensione della zona plastificata in corrispondenza di una tensione di snervamento sigma s
Ah, ma allora quelle sono $\sigma $, non $\nabla $!
$\sigma_s = \sigma_n(1 + 2\sqrt{a/r_p}) $
Ove mi risulta $r_p = b^2/a $. Se [tex]\frac{a}{r_p} \gg 1[/tex] si può trascurare l'$1$, per cui si ha:
$\sigma_s/\sigma_n = 2\sqrt{a/r_p} $
$1/4(\sigma_s/\sigma_n)^2 = a/r_p \implies r_p = a/(1/4(\sigma_s/\sigma_n)^2) = 4a (\sigma_n/\sigma_s)^2 $
Ma non mi torna comunque, sto facendo riferimento a
T. L. Anderson - Fracture Mechanics - Fundamentals and Applications - 3rd edition - CRC (2005)
$\sigma_s = \sigma_n(1 + 2\sqrt{a/r_p}) $
Ove mi risulta $r_p = b^2/a $. Se [tex]\frac{a}{r_p} \gg 1[/tex] si può trascurare l'$1$, per cui si ha:
$\sigma_s/\sigma_n = 2\sqrt{a/r_p} $
$1/4(\sigma_s/\sigma_n)^2 = a/r_p \implies r_p = a/(1/4(\sigma_s/\sigma_n)^2) = 4a (\sigma_n/\sigma_s)^2 $
Ma non mi torna comunque, sto facendo riferimento a
T. L. Anderson - Fracture Mechanics - Fundamentals and Applications - 3rd edition - CRC (2005)
"pilloeffe":
Ah, ma allora quelle sono $\sigma $, non $\nabla $!
"gugo82":
[quote="pilloeffe"]Ah, ma allora quelle sono $\sigma $, non $\nabla $!
[/quote]Ebbene si
"Cla1608":
[quote="gugo82"][quote="pilloeffe"]Ah, ma allora quelle sono $\sigma $, non $\nabla $!
[/quote]Ebbene si[/quote]
Beh, allora fai una paginetta di sigma minuscolo e passa la paura.
Quei begli esercizietti di calligrafia di una volta non erano del tutto inutili.
Oppure, meglio ancora, anzi MOLTO meglio, invece di postare quelle bruttissime foto, sforzati di trascrivere le formule sul forum. E' un buonissimo esercizio e aiuta anche la compresione della matematica.
"dissonance":
Oppure, meglio ancora, anzi MOLTO meglio, invece di postare quelle bruttissime foto, sforzati di trascrivere le formule sul forum. E' un buonissimo esercizio e aiuta anche la compresione della matematica.
Hai ragione, corro di continuo e mi piacerebbe moltissimo avere tanto tempo a disposione per scrivere tante formule belle
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
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