Continuità della funzione integrale $F(x)=int_1^x (|t+2|-3)/(t^2-t+1) dt$

[Zelda89]

Ciao a tutti,
come da titolo devo studiare la continuità della funzione integrale

$F(x)=int_1^x (|t+2|-3)/(t^2-t+1) dt$

Usando il teorema fondamentale del calcolo integrale, se la funzione integranda $f(x)=(|t+2|-3)/(t^2-t+1)$ è limitata e integrabile in $\mathbb{R}$, allora $F(x)$ è continua in $\mathbb{R}$.

Ho verificato che la funzione $f(x)$ sia continua (e quindi integrabile) e limitata, quindi $F(x)$ dovrebbe essere continua su tutto $\mathbb{R}$.

Avevo provato, evitando di usare il teorema fondamentale, a calcolare esplicitamente $F(x)$ per verificare che fosse continua. Mi risulta

\begin{equation*}
F(x)=\left\lbrace
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \ln(x^2-x+1)-\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{\sqrt{3}}{18} \pi \ \ \ \text{se $x\ge-2$}\\
& -\frac{1}{2} \ln(x^2-x+1)-\frac{11\sqrt{3}}{3} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+\frac{\sqrt{3}}{18} \pi \ \ \ \text{se $x <-2$}
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}

Se la funzione integrale fosse questa, in $x= -2$ non mi viene continua, infatti limite destro e sinistro sono diversi.

Ho sbagliato qualcosa nell'utilizzare il teorema fondamentale oppure ho sbagliato a calcolare l'integrale? In effetti quel modulo nella funzione integranda mi ha dato qualche problema

Grazie

[gugo82]

La teoria non mente mai… Sono i calcoli a fare scherzi.

[Zelda89]

Sì, ok... allora la domanda successiva diventerebbe: sapreste calcolare esplicitamente $F(x)$?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Per determinare la costante additiva relativa alla primitiva $F_([x gt= -2])$:

$F_([x gt= -2])(1)=0$

Per determinare la costante additiva relativa alla primitiva $F_([x lt= -2])$:

$F_([x lt= -2])(-2)=F_([x gt= -2])(-2)$

Insomma, poiché la continuità è imposta "a mano", il problema non si pone.

[gugo82]

Beh, a parte quanto diceva Sergeant Elias, si può ragionare come segue.

Per $x >= 1$ hai $F(x):= int_1^x (t - 1)/(t^2 - t +1) text(d) t$; per $-2 <= x < 1$ hai $F(x) = - int_x^1 (t - 1)/(t^2 - t +1) text(d) t$; d'altra parte, per $x < -2$ hai $F(x) = int_x^(-2) (t + 5)/(t^2 - t +1) text(d) t - int_(-2)^1 (t - 1)/(t^2 - t +1) text(d) t$.

Insomma, quando hai a che fare con funzioni definite per casi, tutto ciò che devi fare è distinguere sensatamente i casi.