Aiuto risoluzione funzione
Ho questa funzione
$ f(x)=sqrt(-3x+x^2) -5 $
Dovrei
1) determinare il dominio
2)studiarne i limiti
3)studiare la derivabilita di f , la sua monitonia ed i suoi eventuali massimi e minimi
4)disegnare grafico qualitativo
5)determinare immagine di f
6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k
partendo dal punto 1)
$ x3 $
punto 2) studio i limiti
$ lim_(x -> +oo ) sqrt(-3x+x^2)-5=+oo $
$ lim_(x -> -oo ) sqrt(-3x+x^2)-5=+oo $
quindi non esistono asintoti orizzontali ma eventuale asintoto obliquo
$ lim_(x -> 0 ) sqrt(-3x+x^2)-5=-5 $
$ lim_(x -> 3 ) sqrt(-3x+x^2)-5=-5 $
non esistono asintoti verticali
giusto fin qui ?
$ f(x)=sqrt(-3x+x^2) -5 $
Dovrei
1) determinare il dominio
2)studiarne i limiti
3)studiare la derivabilita di f , la sua monitonia ed i suoi eventuali massimi e minimi
4)disegnare grafico qualitativo
5)determinare immagine di f
6) stabilire al variare del parametro k, quante soluzioni (ed eventualmente di che tipo )ha l equazione f(x)=k
partendo dal punto 1)
$ x
punto 2) studio i limiti
$ lim_(x -> +oo ) sqrt(-3x+x^2)-5=+oo $
$ lim_(x -> -oo ) sqrt(-3x+x^2)-5=+oo $
quindi non esistono asintoti orizzontali ma eventuale asintoto obliquo
$ lim_(x -> 0 ) sqrt(-3x+x^2)-5=-5 $
$ lim_(x -> 3 ) sqrt(-3x+x^2)-5=-5 $
non esistono asintoti verticali
giusto fin qui ?
Risposte
Ciao lolopoo,
Il punto 2) è corretto, il punto 1) invece no perché va bene anche l'uguale, per cui il dominio della funzione proposta è $D = (-\infty, 0]\cup [3, +\infty) $
Gli ultimi due limiti che hai calcolato poi sono inutili perché ovviamente la funzione $ f(x)=sqrt(-3x+x^2) - 5 $ proposta è continua e pertanto si ha:
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = - 5 = f(3) = \lim_{x \to 3} f(x) $
"lolopoo":
giusto fin qui ?
Il punto 2) è corretto, il punto 1) invece no perché va bene anche l'uguale, per cui il dominio della funzione proposta è $D = (-\infty, 0]\cup [3, +\infty) $
Gli ultimi due limiti che hai calcolato poi sono inutili perché ovviamente la funzione $ f(x)=sqrt(-3x+x^2) - 5 $ proposta è continua e pertanto si ha:
$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = - 5 = f(3) = \lim_{x \to 3} f(x) $
Quindi ora calcolo asintoti obliqui
$ m=lim_(x -> +00) ((sqrt(-3x+x^2)-5)/x)=1 $
$ q=lim_(x -> +00) (sqrt(-3x+x^2)-5-x)=-13/2 $
la prima retta ha equazione
$ y=x-13/2 $
Poi
$ m=lim_(x -> -00) ((sqrt(-3x+x^2)-5)/x)=-1 $
$ q=lim_(x -> -00) (sqrt(-3x+x^2)-5+x)=-7/2 $
la retta ha equazione
$ y=-x-7/2 $
$ m=lim_(x -> +00) ((sqrt(-3x+x^2)-5)/x)=1 $
$ q=lim_(x -> +00) (sqrt(-3x+x^2)-5-x)=-13/2 $
la prima retta ha equazione
$ y=x-13/2 $
Poi
$ m=lim_(x -> -00) ((sqrt(-3x+x^2)-5)/x)=-1 $
$ q=lim_(x -> -00) (sqrt(-3x+x^2)-5+x)=-7/2 $
la retta ha equazione
$ y=-x-7/2 $
ora per ottenere i punti esatto dove passano gli asintoti obliqui metto a sistema e dovrei ottenenere :
per il primo asintoto i punti
$ (o,-13/2) $ e . $ (13/2,0) $
per il . secondo asintoto
$ (0, -7/2) $ e $ (-7/2,0) $
per il primo asintoto i punti
$ (o,-13/2) $ e . $ (13/2,0) $
per il . secondo asintoto
$ (0, -7/2) $ e $ (-7/2,0) $
I punti degli asintoti obliqui che hai trovato sono corretti, a parte che nel primo punto hai messo una $o$ invece di uno $0$... 
Passo al punto tre
Calcolo la derivata prima che mi da
$ f'(x)=(-3+2x)/(2sqrt(-3x+x^2) $
POi faccio
$ (-3+2x)/(2sqrt(-3x+x^2))>0 $
e ottengo $ x> 3 $
quindi la funzione non ha nè massimi nè minimi
Calcolo la derivata prima che mi da
$ f'(x)=(-3+2x)/(2sqrt(-3x+x^2) $
POi faccio
$ (-3+2x)/(2sqrt(-3x+x^2))>0 $
e ottengo $ x> 3 $
quindi la funzione non ha nè massimi nè minimi
"lolopoo":
$ (- 3 + 2x)/(2sqrt(-3x+x^2)) > 0 $
e ottengo $x>3 $
quindi la funzione non ha nè massimi nè minimi
Beh, non è che "ottieni": il fatto è che nell'ambito del dominio di definizione della derivata prima (contenuto in quello della funzione proposta) si ha che per $x < 0 $ la derivata è negativa (funzione decrescente), mentre per $x > 3 $ la derivata è positiva (funzione crescente). La funzione non ha né massimi né minimi relativi, ma ha due minimi assoluti nei punti $L(0, - 5) $ e $M(3, - 5)$
ora mi calcolo la positivita
$ sqrt(-3x+x^2) -5>0 $
dove ottengo
$ x<(3-sqrt(109))/2 V x> (3+sqrt(109))/2 $
se non ho errato nei calcoli
Poi provo ad attenere intersezione con gli assi
e mettendo a sistema dovei ottenere
intersezione asse x : $ ((3-sqrt(109))/2;0) $ e $ ((3+sqrt(109))/2;0) $
intesezione aase y. : $ (0;-5) $
Ma ho un po di dubbi se ho fatto bene anche nei calcoli
$ sqrt(-3x+x^2) -5>0 $
dove ottengo
$ x<(3-sqrt(109))/2 V x> (3+sqrt(109))/2 $
se non ho errato nei calcoli
Poi provo ad attenere intersezione con gli assi
e mettendo a sistema dovei ottenere
intersezione asse x : $ ((3-sqrt(109))/2;0) $ e $ ((3+sqrt(109))/2;0) $
intesezione aase y. : $ (0;-5) $
Ma ho un po di dubbi se ho fatto bene anche nei calcoli
"lolopoo":
Ma ho un po di dubbi se ho fatto bene anche nei calcoli
Non avere dubbi perché anche se i numeri sono un po' "strani" è tutto corretto...
Questo è uno sfogo non diretto a lolopoo ma più in generale agli studenti che passino di qui. Il post di lolopoo è solo uno spunto e non mi ci rivolgo direttamente.
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Mi risulta incredibile come tanti studenti usino Wolfram Alpha per operazioni non sicure come calcolare primitive e integrali, e poi non lo usino quando dovrebbero, per operazioni sicure come disegnare grafici di funzioni. Per controllare i risultati basta disegnare un grafico della funzione da studiare e vedere se quadra con gli asintoti e con la monotonia che si è trovato.
Qual è il vero problema? Che questo genere di controlli richiede comprensione teorica, non meccanica. Ma la maggior parte degli studenti si limita alla componente meccanica. Essa è senza dubbio importante, negli esami e dopo di essi, ma da sola non basta assolutamente. Quindi, non calcolate centinaia di integrali, non fate decine di studi di funzione, fatene quattro o cinque ma capiteli benissimo.
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sono insicuro dei risultati
Mi risulta incredibile come tanti studenti usino Wolfram Alpha per operazioni non sicure come calcolare primitive e integrali, e poi non lo usino quando dovrebbero, per operazioni sicure come disegnare grafici di funzioni. Per controllare i risultati basta disegnare un grafico della funzione da studiare e vedere se quadra con gli asintoti e con la monotonia che si è trovato.
Qual è il vero problema? Che questo genere di controlli richiede comprensione teorica, non meccanica. Ma la maggior parte degli studenti si limita alla componente meccanica. Essa è senza dubbio importante, negli esami e dopo di essi, ma da sola non basta assolutamente. Quindi, non calcolate centinaia di integrali, non fate decine di studi di funzione, fatene quattro o cinque ma capiteli benissimo.
Il grafico dovrebbe essere cosi
Se ho fatto giusto l' immagine di f potrebbe essere $ (-5;+oo ) $ ?
In realtà $C = [-5, +\infty)$, ma l'idea c'è...
il punto sette invece sarebbe
$ x< -5 $ nessuna soluzione
$ x>= -5 $ due soluzioni reali e distinte
giusto ?
$ x< -5 $ nessuna soluzione
$ x>= -5 $ due soluzioni reali e distinte
giusto ?
"lolopoo":
giusto ?
No:
- per $y < - 5 $ nessuna soluzione;
- per $y >= - 5 $ due soluzioni reali e distinte.
ok grazie mille per l ' aiuto come sempre 
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