Esercizio sulla convergenza uniforme

[andx]

Buongiorno,
mi trovo di fronte ad un esercizio che il docente di Analisi Matematica 2 ha assegnato allo scorso esame, tuttavia non riesco proprio a capire quale sia il ragionamento. Il testo è il seguente:

per n Naturale \(f_n:[0,+\infty[ \rightarrow R , f_n=\frac{x^{4n}}{3+x^{3n}}\). Allora:

a) \( (f_n)_{n \in N} \) converge uniformemente in \([0,1]\)

b)\( \forall \delta \in ]0,1[ (f_n)_{n \in N} \) converge uniformemente in \( [0,\delta] \) e in \( [1+\delta,+\infty[ \) a due costanti diverse


c)\( \forall \delta \in ]0,1[ (f_n)_{n \in N} \) converge uniformemente in \( [0,\delta] \) e in \( [1+\delta,+\infty[ \) alla stessa costante

d) nessuna delle precedenti


La risposta giusta è la d, ma il docente a lezione non ha mai fatto un esercizio simile e in tutta onestà ha trattato l'argomento della convergenza uniforme in modo molto approssimativo.

Ringrazio chiunque voglia perdere dieci minuti a spiegarmi come si ragiona su questo esercizio.

[gugo82]

Innanzitutto, comincia a calcolare il limite puntuale.
Poi vatti a verificare la convergenza com'è.