Determinare numero soluzioni al variare di $lambda$
Al variare del parametro $ lambda in R$ determinare numero e segno delle soluzioni dell'equazione $ e^x sqrt(x^2+2) = lambda $
Buonasera ragazzi mi date una mano a capire questo esercizio? probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.
Solitamente quando svolgo questo tipo di esercizio per prima cosa vedo il dominio della funzione, che in questo caso dovrebbe essere tutto $R$
Poi vado a vedere i limiti a + e - infinito che mi vengono rispettivamente $+infty$ e $0$ quindi già qui mi è venuto in mente che la funzione si potesse in maniera simile al grafico di $e^x$
Proseguendo, ho comunque calcolato la derivata prima che mi è venuta $ (e^x(x^2+x+1))/sqrt(x^2+2) $ e praticamente risulta sempre $>0$ per cui la funzione è sempre crescente corretto?
Ora solitamente (in altri esercizi simili) qui ho dei punti dove la funzione cresce, decresce ecc.. e vado a vedere nel grafico tracciando la funzione $lambda = f(x)$, dove x sono i punti in cui cambia la monotonia,
e vedo come interseca il grafico la retta $lambda = f(x)$ e posso dire per valori di $lambda > f(x)$ tot soluzioni, tot negative e/o tot positive. Invece qui come proseguo? come faccio ad avere un $lambda$ di riferimento se dallo studio della derivata prima ho ottenuto "solo" $ AA x in R $?
Buonasera ragazzi mi date una mano a capire questo esercizio? probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.
Solitamente quando svolgo questo tipo di esercizio per prima cosa vedo il dominio della funzione, che in questo caso dovrebbe essere tutto $R$
Poi vado a vedere i limiti a + e - infinito che mi vengono rispettivamente $+infty$ e $0$ quindi già qui mi è venuto in mente che la funzione si potesse in maniera simile al grafico di $e^x$
Proseguendo, ho comunque calcolato la derivata prima che mi è venuta $ (e^x(x^2+x+1))/sqrt(x^2+2) $ e praticamente risulta sempre $>0$ per cui la funzione è sempre crescente corretto?
Ora solitamente (in altri esercizi simili) qui ho dei punti dove la funzione cresce, decresce ecc.. e vado a vedere nel grafico tracciando la funzione $lambda = f(x)$, dove x sono i punti in cui cambia la monotonia,
e vedo come interseca il grafico la retta $lambda = f(x)$ e posso dire per valori di $lambda > f(x)$ tot soluzioni, tot negative e/o tot positive. Invece qui come proseguo? come faccio ad avere un $lambda$ di riferimento se dallo studio della derivata prima ho ottenuto "solo" $ AA x in R $?
Risposte
Sì, vabbè, fai questo e quello... Ma hai capito cosa stai facendo? E perché?
Geometricamente, il problema equivale a determinare quante intersezioni ha la curva-grafico della tua funzione con ogni retta del fascio parallelo all'asse $x$, i.e. quante soluzioni ha il sistema:
$\{(y=e^x sqrt(x^2 + 2)), (y=lambda):}$
con $lambda in RR$.
Graficamente è un esercizio di una semplicità estrema.
Geometricamente, il problema equivale a determinare quante intersezioni ha la curva-grafico della tua funzione con ogni retta del fascio parallelo all'asse $x$, i.e. quante soluzioni ha il sistema:
$\{(y=e^x sqrt(x^2 + 2)), (y=lambda):}$
con $lambda in RR$.
Graficamente è un esercizio di una semplicità estrema.
"gugo82":
Sì, vabbè, fai questo e quello... Ma hai capito cosa stai facendo? E perché?
Geometricamente, il problema equivale a determinare quante intersezioni ha la curva-grafico della tua funzione con ogni retta del fascio parallelo all'asse $x$, i.e. quante soluzioni ha il sistema:
$\{(y=e^x sqrt(x^2 + 2)), (y=lambda):}$
con $lambda in RR$.
Graficamente è un esercizio di una semplicità estrema.
Certo che so cosa sto facendo. Ho premesso che probabilmente mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua, rispondere "è un esercizio di una semplicità estrema" non è d'aiuto. Infatti stamattina a mente fresca ho visto cosa vale f in 0 e tratto le conclusioni. Quindi se proprio volevi essere d'aiuto bastava dire ad esempio " hai considerato f(0)?". Ma vabbè meglio schernire la gente.
La funzione assegnata è continua e strettamente crescente in $RR$ ed ha $lim_(x -> -oo) f(x) = 0 ="inf"_RR f$ e $lim_(x -> +oo) f(x) = +oo ="sup"_RR f$.
Per il teorema di Bolzano e la stretta monotonia, $f$ assume un'unica volta ogni valore $lambda >0$ e non assume mai alcun valore $lambda<=0$.
Tracciando un grafico di massima si ottiene:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-2; ymax=6;
axes("","");
stroke="red";
strokewidth=2;
plot("exp(x)*sqrt(x^2+2)",-5,5);[/asvg]
e da ciò si vede che l'unica soluzione di $f(x)=lambda$ (con $lambda >0$) è positiva, nulla o negativa a seconda che $lambda$ sia maggiore, uguale o minore a $f(0)=sqrt(2)$.
Per il teorema di Bolzano e la stretta monotonia, $f$ assume un'unica volta ogni valore $lambda >0$ e non assume mai alcun valore $lambda<=0$.
Tracciando un grafico di massima si ottiene:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-2; ymax=6;
axes("","");
stroke="red";
strokewidth=2;
plot("exp(x)*sqrt(x^2+2)",-5,5);[/asvg]
e da ciò si vede che l'unica soluzione di $f(x)=lambda$ (con $lambda >0$) è positiva, nulla o negativa a seconda che $lambda$ sia maggiore, uguale o minore a $f(0)=sqrt(2)$.
"gugo82":
Sì, vabbè, fai questo e quello... Ma hai capito cosa stai facendo? E perché?
È vero che certe volte Gugo sembra un po' saccente.
Ci conosciamo da tanti anni e non è certo la prima volta che glielo dico. Ma proprio perché lo conosco bene, so che non è questione di saccenza, è semplicemente il suo metodo didattico. Lui vuole dire che, se ti poni una domanda del genere di fronte ad una funzione con la derivata ovunque positiva, significa che non hai realmente capito i passaggi che stai facendo. Non c'è niente di male, è così che funziona l'apprendimento; si inizia con la semplice ripetizione e poi pian piano si va approfondendo.
Io ormai sono quindici anni che studio la matematica, ed è ancora così. Quando studio un argomento nuovo, all'inizio non ci capisco niente, poi vado familiarizzando mediante la riscrittura dei teoremi e delle dimostrazioni che trovo scritti su libri e articoli, e poi poco a poco inizio a capirci qualcosa.
@ dissonance: [ot]Lo studio (della Matematica in particolare) insegna a non fermarsi alle apparenze.[/ot]
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