Convergenza di tre serie
Vi pongo 3 esercizi sulla convergenza delle serie, sperando mi possiate dare una mano a risolverne 2 e a chiarirmi un dubbio sull'altro
1) $sum_1 n((e^((1/n) -sin(1/n)))/(1-cos(1/n)))$. Ho provato ad applicare il limite notevole dell'esponenziale e del coseno (quello del seno annulla il numeratore), ma non riesco a ricondurmi a nessuna asintotica equivalente.
2) $sum_1 (-1)^n *1/(n!)^(2/n)$. In questa le ho provate tutte: criterio del rapporto, della radice, ho riscritto il denominatore in funzione dell'esponenziale elevato al logaritmo, ma niente, continuo sempre a complicarmi la vita e a non trovare una soluzione che semplifichi i calcoli.
3) $sum_1 n^3((sqrt3 +1)^n +n)/5^n$. Questa serie l'ho risolta considerando un confronto tra infiniti, ed eliminando la $n$ sommata all'esponenziale al numeratore. Dopo di che ho applicato il criterio del rapporto. Vorrei sapere: è lecito eliminare quella $n$ per poi applicare il criterio in questione?
Mi servirebbero davvero tanto delle delucidazioni riguardo questi miei dubbi in vista dell'esame, grazie in anticipo a tutti.
1) $sum_1 n((e^((1/n) -sin(1/n)))/(1-cos(1/n)))$. Ho provato ad applicare il limite notevole dell'esponenziale e del coseno (quello del seno annulla il numeratore), ma non riesco a ricondurmi a nessuna asintotica equivalente.
2) $sum_1 (-1)^n *1/(n!)^(2/n)$. In questa le ho provate tutte: criterio del rapporto, della radice, ho riscritto il denominatore in funzione dell'esponenziale elevato al logaritmo, ma niente, continuo sempre a complicarmi la vita e a non trovare una soluzione che semplifichi i calcoli.
3) $sum_1 n^3((sqrt3 +1)^n +n)/5^n$. Questa serie l'ho risolta considerando un confronto tra infiniti, ed eliminando la $n$ sommata all'esponenziale al numeratore. Dopo di che ho applicato il criterio del rapporto. Vorrei sapere: è lecito eliminare quella $n$ per poi applicare il criterio in questione?
Mi servirebbero davvero tanto delle delucidazioni riguardo questi miei dubbi in vista dell'esame, grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Ciao sguonza,
Beh, la 1) non può convergere perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ ed essendo a termini positivi non può che essere positivamente divergente; la 2) converge assolutamente e dunque anche semplicemente.
Beh, la 1) non può convergere perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $ ed essendo a termini positivi non può che essere positivamente divergente; la 2) converge assolutamente e dunque anche semplicemente.
Grazie della risposta. Per la 2) potresti spiegarmi che procedimento hai usato per arrivare alla convergenza del modulo di An? E riguardo il mio dubbio sulla 3)?
La 3 converge per ordine di infinitesimo.
"sguonza":
Grazie della risposta.
Prego.
"sguonza":
Per la 2) potresti spiegarmi che procedimento hai usato per arrivare alla convergenza del modulo di An? E riguardo il mio dubbio sulla 3)?
Per la 2) ho usato una versione semplificata dell'approssimazione di Stirling: $ n! >= e(n/e)^n > (n/e)^n $:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n!)^(2/n) < \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/((n/e)^n)^(2/n) = e^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = (e\pi)^2/6 $
Per la 3) si può procedere per confronto oppure come ti ha già suggerito gugo82.
"pilloeffe":
[quote="sguonza"]Grazie della risposta.
Prego.
"sguonza":
Per la 2) potresti spiegarmi che procedimento hai usato per arrivare alla convergenza del modulo di An? E riguardo il mio dubbio sulla 3)?
Per la 2) ho usato una versione semplificata dell'approssimazione di Stirling: $ n! >= e(n/e)^n > (n/e)^n $:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n!)^(2/n) < \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/((n/e)^n)^(2/n) = e^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = (e\pi)^2/6 $
Per la 3) si può procedere per confronto oppure come ti ha già suggerito gugo82.[/quote]
Non conoscevo l'approssimazione di Stirling, non credo appartenga al programma, ma ne farò comunque tesoro!
Sempre riguardo la 3), precisamente che procedimento è applicabile, se non disturbo troppo? Vorrei chiarirmi questo dubbio per non rischiare di sbagliare esercizi per errori banali.
Da un certo valore di $n$ in poi, diciamo $\bar{n} = 60 $ tanto per stare sul sicuro, si ha:
$n^3((sqrt3 +1)^n +n)/5^n <= (5/4)^n \cdot ((sqrt3 +1)^n)/5^n = ((sqrt3 + 1)/4)^n $
L'ultimo termine scritto è quello di una serie geometrica di ragione minore di $1$, notoriamente convergente. Un'altra strada conveniente potrebbe essere scrivere
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n^3((sqrt3 +1)^n +n)/5^n = (sqrt3 + 2)/5 + \sum_{n = 2}^{+\infty} n^3 \cdot ((sqrt3 +1)^n + n)/5^n <= (sqrt3 + 2)/5 + \sum_{n = 2}^{+\infty} n^4 \cdot (sqrt3 +1)^n/5^n $
ed applicare poi il criterio del rapporto all'ultima serie scritta per mostrare che è convergente.
$n^3((sqrt3 +1)^n +n)/5^n <= (5/4)^n \cdot ((sqrt3 +1)^n)/5^n = ((sqrt3 + 1)/4)^n $
L'ultimo termine scritto è quello di una serie geometrica di ragione minore di $1$, notoriamente convergente. Un'altra strada conveniente potrebbe essere scrivere
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n^3((sqrt3 +1)^n +n)/5^n = (sqrt3 + 2)/5 + \sum_{n = 2}^{+\infty} n^3 \cdot ((sqrt3 +1)^n + n)/5^n <= (sqrt3 + 2)/5 + \sum_{n = 2}^{+\infty} n^4 \cdot (sqrt3 +1)^n/5^n $
ed applicare poi il criterio del rapporto all'ultima serie scritta per mostrare che è convergente.
"pilloeffe":
Da un certo valore di $n$ in poi, diciamo $\bar{n} = 60 $ tanto per stare sul sicuro, si ha:
$n^3((sqrt3 +1)^n +n)/5^n <= (5/4)^n \cdot ((sqrt3 +1)^n)/5^n = ((sqrt3 + 1)/4)^n $
L'ultimo termine scritto è quello di una serie geometrica di ragione minore di $1$, notoriamente convergente. Un'altra strada conveniente potrebbe essere scrivere
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n^3((sqrt3 +1)^n +n)/5^n = (sqrt3 + 2)/5 + \sum_{n = 2}^{+\infty} n^3 \cdot ((sqrt3 +1)^n + n)/5^n <= (sqrt3 + 2)/5 + \sum_{n = 2}^{+\infty} n^4 \cdot (sqrt3 +1)^n/5^n $
ed applicare poi il criterio del rapporto all'ultima serie scritta per mostrare che è convergente.
Non sto riuscendo a capire, da dove hai tirato fuori $(5/4)^n$ nella prima soluzione, e $(sqrt3 +2)/5$ nella seconda?
Beh, per la prima dovresti sapere che una potenza è sempre minore od uguale di un esponenziale per opportuni valori di $n$, cioè che [tex]\exists \bar{n} :[/tex] $\AA n > \bar{n} $ si ha
$n^k <= b^n $
con $b > 1 $. Nel caso in esame $k = 3 $ e ho scelto $b = 5/4 = 1,25 > 1 $ in modo che fosse comodo semplificarlo col $5^n $ al denominatore.
Per la seconda soluzione $ (sqrt3 + 2)/5 $ è semplicemente il valore assunto da $a_n $ per $n = 1 $, cioè $a_1$
$n^k <= b^n $
con $b > 1 $. Nel caso in esame $k = 3 $ e ho scelto $b = 5/4 = 1,25 > 1 $ in modo che fosse comodo semplificarlo col $5^n $ al denominatore.
Per la seconda soluzione $ (sqrt3 + 2)/5 $ è semplicemente il valore assunto da $a_n $ per $n = 1 $, cioè $a_1$
Ok certo. E il $+n$ al numeratore lo elimini in entrambi i casi per confronto di infiniti con $(sqrt3 +1)^n$?
No, non sto usando il confronto fra infiniti, ma disuguaglianze. Naturalmente si può usare anche il confronto fra infiniti ottenendo il medesimo risultato: la serie proposta è convergente.
"pilloeffe":
No, non sto usando il confronto fra infiniti, ma disuguaglianze. Naturalmente si può usare anche il confronto fra infiniti ottenendo il medesimo risultato: la serie proposta è convergente.
Quindi, per concludere, potrei "eliminare" il $+n$ al numeratore perchè è un infinito inferiore rispetto all'esponenziale, e poi usare il criterio del rapporto?
Beh sì, se per concludere vuoi usare il metodo degli infiniti sì... 
Sei stato veramente d'aiuto, grazie!!
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