Esercizio: integrale su dominio illimitato
$ int_(0)^(+oo ) (p* dp)/((p^2+1)^alpha $
Devo studiare questo integrale al variare di $ alphain R $ .
Formalmente sarebbe meglio porre come estremi 1/n e n con $ n->+oo $ ma la sostanza non cambia.
Per $ alpha=1/2, 0, -1/2, -1, -2, $ , l'integrale è abbastanza facile da risolvere e in ognuno di questi casi il risultato è un polinomio in p tutto elevato ad un esponente positivo, e diverge a $ +oo $ .
Per $ alpha=1 $ l'integrale è un logaritmo con risultato anche qui divergente a $ +oo $ .
Per $ alpha>1 $ l'integrale sembra essere del tipo $ -1/("Polinomio di grado "2alpha-2 $ , come ad esempio nel caso $ alpha=2 $ ove troviamo $ -1/(2p^2+2) $ . Sostituendo gli estremi, per polinomi di questo tipo il risultato è un valore finito $ lin R^+ $ .
Supponendo che la tipologia del risultato dell'integrale non si discosti mai dai casi elencati, sembra giusto assumere che per $ alpha<=1 $ il risultato dell'integrale è $ +oo $ mentre è un valore finito positivo se $ alpha>1. $
La mia generalizzazione è corretta? E poi: è sufficientemente formale o non è accettabile?
Devo studiare questo integrale al variare di $ alphain R $ .
Formalmente sarebbe meglio porre come estremi 1/n e n con $ n->+oo $ ma la sostanza non cambia.
Per $ alpha=1/2, 0, -1/2, -1, -2, $ , l'integrale è abbastanza facile da risolvere e in ognuno di questi casi il risultato è un polinomio in p tutto elevato ad un esponente positivo, e diverge a $ +oo $ .
Per $ alpha=1 $ l'integrale è un logaritmo con risultato anche qui divergente a $ +oo $ .
Per $ alpha>1 $ l'integrale sembra essere del tipo $ -1/("Polinomio di grado "2alpha-2 $ , come ad esempio nel caso $ alpha=2 $ ove troviamo $ -1/(2p^2+2) $ . Sostituendo gli estremi, per polinomi di questo tipo il risultato è un valore finito $ lin R^+ $ .
Supponendo che la tipologia del risultato dell'integrale non si discosti mai dai casi elencati, sembra giusto assumere che per $ alpha<=1 $ il risultato dell'integrale è $ +oo $ mentre è un valore finito positivo se $ alpha>1. $
La mia generalizzazione è corretta? E poi: è sufficientemente formale o non è accettabile?
Risposte
Ti mancano le basi sugli integrali impropri.
Puoi studiarle sul libro di teoria o leggere qui, parr. 2 e 3.
Puoi studiarle sul libro di teoria o leggere qui, parr. 2 e 3.
Ciao SalvatCpo,
L'integrale proposto in realtà è immediato:
$ \int (p \text{d}p)/(p^2+1)^{\alpha} = (p^2 + 1)^{1 - \alpha}/(2 - 2\alpha) + c $
Pertanto si ha:
$ \int_0^{+\infty} (p \text{d}p)/(p^2+1)^{\alpha} = 1/(2(\alpha - 1)) \qquad \text{ per } \alpha > 1 $
L'integrale proposto in realtà è immediato:
$ \int (p \text{d}p)/(p^2+1)^{\alpha} = (p^2 + 1)^{1 - \alpha}/(2 - 2\alpha) + c $
Pertanto si ha:
$ \int_0^{+\infty} (p \text{d}p)/(p^2+1)^{\alpha} = 1/(2(\alpha - 1)) \qquad \text{ per } \alpha > 1 $
Ho avuto una grave svista: avrei dovuto notare che si trattasse di un integrale immediato.
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