Esempi sul calcolo di integrali multipli con coordinate polari
Ciao ragazzi mi servirebbe un aiuto sul calcolo degli integrali multipli
Dato un punto nel piano $P_***=(x_***,y_***)$ il sistema di coordinate polari centrato in $P_***$ è descritto da:
${(x=x_***+rcos\theta),(y=y_***+rsin\theta):}$
Prendendo un esempio:
Calcoliamo l'integrale $\int int_Omega x dx dy$ sul dominio $Omega={(x,y}:x>=0,y>=0,1>=x^2+y^2<=4}$
il dominio Ω corrisponde alla regione rettangolare D nel piano r-θ data da:
$D={(r,\theta):1<=r<=2,0<=\theta<=pi/2}$
Non capisco come è avvenuta questra trasformazione utilizzando il sistema scritto in precedenza.
Grazie
Dato un punto nel piano $P_***=(x_***,y_***)$ il sistema di coordinate polari centrato in $P_***$ è descritto da:
${(x=x_***+rcos\theta),(y=y_***+rsin\theta):}$
Prendendo un esempio:
Calcoliamo l'integrale $\int int_Omega x dx dy$ sul dominio $Omega={(x,y}:x>=0,y>=0,1>=x^2+y^2<=4}$
il dominio Ω corrisponde alla regione rettangolare D nel piano r-θ data da:
$D={(r,\theta):1<=r<=2,0<=\theta<=pi/2}$
Non capisco come è avvenuta questra trasformazione utilizzando il sistema scritto in precedenza.
Grazie
Risposte
Fai un disegno.
Si risolve solo geometricamente?
Ovviamente no, ma non vedo perché perdere tempo in calcoli per una cosa così banale: la geometria sotto c'è e va usata.
Il disegno ti suggerisce subito quale polo $(x_***, y_***)$ usare.
Capito ciò e ricordate le interpretazioni geometriche di $theta$ e $r$, il gioco è fatto.
Il disegno ti suggerisce subito quale polo $(x_***, y_***)$ usare.
Capito ciò e ricordate le interpretazioni geometriche di $theta$ e $r$, il gioco è fatto.
Vorrei capire i calcoli algebrici eseguiti
Comincia scegliendo un polo per le coordinate polari, come ti ha già suggerito gugo82.
Ok ho capito come risolverlo geometricamente. Altra domanda in un altro esempio con coordinate sferiche.
Calcola l'integrale $\int int int_Ωx^2dxdydz$ dove il guscio Ω è la regione solida contenuta nella sfera di raggio 2 ed estrerna alla sfera di raggio 1, entrambe con centro nell'origine.
$Ω={(x,y,z):1<=x^2+y^2+z^2<=4}$
Facendo il disegno vedo subito che la variabile radiale è ristretta all'intervallo 1<=r<=2 e nella risoluzione dice che i 2 angoli variano $0<=φ<=pi$ e $0<=θ<=2pi$
In questi ultimi angoli non capisco perchè non variano entrambi tra 0 e 360 essendo entrambe 2 sfere
Calcola l'integrale $\int int int_Ωx^2dxdydz$ dove il guscio Ω è la regione solida contenuta nella sfera di raggio 2 ed estrerna alla sfera di raggio 1, entrambe con centro nell'origine.
$Ω={(x,y,z):1<=x^2+y^2+z^2<=4}$
Facendo il disegno vedo subito che la variabile radiale è ristretta all'intervallo 1<=r<=2 e nella risoluzione dice che i 2 angoli variano $0<=φ<=pi$ e $0<=θ<=2pi$
In questi ultimi angoli non capisco perchè non variano entrambi tra 0 e 360 essendo entrambe 2 sfere
Non lo capisci perché non hai capito geometricamente cosa rappresentano quegli angoli.
Fai un disegno (di nuovo).
Fai un disegno (di nuovo).
Ciao smule98,
Il sistema di coordinate sferiche con $\varphi $ colatitudine è il seguente:
$ {(x = \rho sin\varphi cos\theta),(y = \rho sin\varphi sin\theta),(z = \rho cos\varphi):} $
ove naturalmente si ha $\rho >= 0$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$; nel caso in esame invece dal disegno o con opportuni ragionamenti (che dovresti riuscire a fare autonomamente, ma in caso contrario facci sapere... ) si vede subito che si ha $\rho \in [1,2]$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$
Il sistema di coordinate sferiche con $\varphi $ colatitudine è il seguente:
$ {(x = \rho sin\varphi cos\theta),(y = \rho sin\varphi sin\theta),(z = \rho cos\varphi):} $
ove naturalmente si ha $\rho >= 0$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$; nel caso in esame invece dal disegno o con opportuni ragionamenti (che dovresti riuscire a fare autonomamente, ma in caso contrario facci sapere... ) si vede subito che si ha $\rho \in [1,2]$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$
"pilloeffe":
Ciao smule98,
Il sistema di coordinate sferiche con $\varphi $ colatitudine è il seguente:
$ {(x = \rho sin\varphi cos\theta),(y = \rho sin\varphi sin\theta),(z = \rho cos\varphi):} $
ove naturalmente si ha $\rho >= 0$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$; nel caso in esame invece dal disegno o con opportuni ragionamenti (che dovresti riuscire a fare autonomamente, ma in caso contrario facci sapere... ) si vede subito che si ha $\rho \in [1,2]$, $\theta \in [0,2\pi)$ e $\varphi \in [0,\pi]$
Intanto grazie per l'aiuto.
No non mi è ancora chiaro che ragionamenti dovrei fare.
Mi sarebbe utile capire, spiegando chiaramente passo per passo, i ragionamenti che devono essere fatti. Grazie
"smule98":
Intanto grazie per l'aiuto.
Prego.
"smule98":
No non mi è ancora chiaro che ragionamenti dovrei fare.
Quoto gugo82:
"gugo82":
Fai un disegno (di nuovo).
Se proprio insisti a non voler fare un disegno, tramite il quale però capiresti tutto, potresti dare un'occhiata ad esempio alla fine di questa pagina: https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate_polari
Non capisco come fare il disegno in coordinate sferiche
"smule98":
Non capisco come fare il disegno in coordinate sferiche
Scusa, ma quando ti hanno spiegato le coordinate sferiche (in Analisi II o in Fisica) ti hanno fatto vedere cosa rappresentano gli angoli $theta$ e $phi$?
O, almeno, te le hanno definite geometricamente le coordinate sferiche?
"gugo82":
[quote="smule98"]Non capisco come fare il disegno in coordinate sferiche
Scusa, ma quando ti hanno spiegato le coordinate sferiche (in Analisi II o in Fisica) ti hanno fatto vedere cosa rappresentano gli angoli $theta$ e $phi$?
O, almeno, te le hanno definite geometricamente le coordinate sferiche?[/quote]
Non particolarmente, solo che $theta$ va da 0 a $2pi$ e che φ va da 0 a $pi$
"smule98":
Non particolarmente, solo che $\theta $ va da $0$ a $2\pi $ e che $phi $ va da $0 $ a $\pi $
E perché, di grazia, nel caso in esame dovrebbe essere diverso?
"smule98":
Non capisco come fare il disegno in coordinate sferiche
Che cos'è che non capisci? Si tratta semplicemente di due sfere concentriche aventi centro $O(0,0,0) $, una di raggio $1$ e l'altra di raggio $2$...
Che mi sembra diciamo "troppo facile" cioè ho capito dalla teoria le misure in cui variano teta e phi, ma lo do per scontato appunto dalla teoria, non perchè ho capito come fare il disegno e vedo che effettivamente vanno da tot angolo a tot angolo
"smule98":
[...] ho capito dalla teoria [...]
Scusa, ma quale teoria?
Hai appena detto che non ti è stato detto perché vengono fuori quelle limitazioni... Come fai ad aver capito?
Scusa ho sbagliato il termine, ho dato per assodato come ho scrito successivamente che viene detto che theta e phi variano in quei termini
Costruzione e significato geometrico delle coordinate sferiche in $RR^3$
Nello spazio $RR^3$ fissa un riferimento cartesiano ortonormale $Oxyz$ e scegli un punto $P$ che non stia sull’asse $z$.
Per questo punto $P$ passa un’unica superficie sferica di centro $O$: la lunghezza del raggio $OP$ di tale superficie sferica è la coordinata $r$ del punto $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Inoltre, per il punto $P$ passa un unico semipiano $alpha$ appartenente al fascio che ha per asse l’asse $z$; tale $alpha$ interseca il piano $Oxy$ in una semiretta uscente da $O$: l’anomalia $theta$ di tale semiretta rispetto al semiasse delle $x$ positive (i.e., l’angolo orientato formato dalla semiretta e dal semiasse delle ascisse positive) è la seconda coordinata di $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Infine, per il punto $P$ passa un’unica semiretta uscente da $O$ e tracciata sul semipiano $alpha$: l’anomalia $phi$ di tale semiretta rispetto al semiasse delle $z$ positive (i.e., l’angolo orientato formato dalla semiretta e dal semiasse delle quote positive) è la terza coordinata di $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Dunque $P=(r, theta, phi)$ con $r$, $theta$ e $phi$ univocamente determinati se $P$ non è sull’asse $z$.
Cosa succede se, invece, $P$ sta sull’asse $z$?
Dipende… Quello che è certamente vero per tutti i punti $P$ di questo tipo è che la coordinata $r$ è sempre determinata e coincide sempre con la lunghezza di $OP$. Tuttavia, visto che tutti i semipiani appartenenti al fascio con asse l’asse $z$ passano per $P$, la coordinata $theta$ è completamente indeterminata per tutti i punti dell’asse delle quote.
Inoltre, se $P$ sta sul semiasse $z$ positivo, allora la semiretta da $O$ che passa per $P$ coincide con il semiasse $z$ positivo, quindi $phi = 0$; se, invece $P$ sta sul semiasse $z$ negativo, allora la semiretta da $O$ per $P$ coincide con il semiasse negativo e perciò $phi = pi$.
Infine, se $P =O$, è chiaro che $r=0$ però entrambe le coordinate angolari $theta$ e $phi$ risultano indeterminate.
Viceversa, assegnata una terna $(r,theta,phi)$ esiste al più un unico punto $P$ tale che: $r$ coincide con la lunghezza di $OP$; $theta$ coincide con l’angolo formato dal semipiano appartenete al fascio di asse $z$ che passa per $P$ con il semiasse $x$ positivo; $phi$ coincide con l’anomalia della semiretta di origine $O$ che passa per $P$ col semiasse $z$ positivo.
Limitazioni sulle coordinate sferiche
Dalla stessa definizione di $r$ segue che $r>=0$.
Dalla definizione di $theta$ segue che tale angolo varia in un intervallo di ampiezza $2pi$, poiché per individuare tutti i punti dello spazio (ad eccezione di quelli dell’asse $z$) bisogna far ruotare il semipiano $alpha$ attorno all’asse $z$ di un giro completo.
Pertanto, usualmente, o si sceglie $theta in [0,2pi[$ oppure $theta in ]-pi, pi]$.
Analogamente, dalla definizione di $phi$ segue che tale angolo varia in un intervallo di ampiezza $pi$, poiché per individuare tutti i punti dello spazio bisogna far ruotare nel semipiano mobile $alpha$ la semiretta $s$ uscente da $O$ dal semiasse $z$ positivo a quello negativo.
Perciò, usualmente si sceglie $phi in [0,pi]$.
Trasformazioni da coordinate sferiche a cartesiane
Scegliamo un punto $P$ nel primo ottante aperto, chiamiamone $(x,y,z)$ le coordinate cartesiane ed $(r, theta, phi)$ le coordinate sferiche.
Chiamiamo, inoltre, $H$ e $Z$ le proiezioni di $P$ sul piano $Oxy$ e sull’asse $z$ rispettivamente ed $X$, $Y$ le proiezioni di $H$ sugli assi $x$ ed $y$. Evidentemente, $H=(x,y,0)$, $X=(x,0,0)$, $Y=(0,y,0)$ e $Z=(0,0,z)$.
Come da definizione, $r$ è la lunghezza dell’ipotenusa comune ai triangoli rettangoli $\triangle OZP$ e $\triangle OHP$, rettangoli in $K$ ed $H$. Dato che, per definizione $phi$ è l’ampiezza dell’angolo $hat(POZ)$, la lunghezza del cateto $OZ$ è data da $r cos phi$ e, contemporaneamente, anche da $z$; dunque:
$z = r cos phi$.
D’altra parte, la lunghezza di $OH$ è data da $r sin phi$; dato che $OH$ è l’ipotenusa dei triangoli $\triangle OXH$ ed $\triangle OYH$ e visto che $theta$ è l’ampiezza dell’angolo $hat(HOX)$, le lunghezze dei cateti $OX$ ed $OY$ sono date, contemporaneamente, da $r sin phi cos theta$ ed $x$ e da $r sin phi sin theta$ ed $y$; dunque:
$x = r sin phi cos theta$ e $y = r sin phi sin theta$.
Ne consegue che le coordinate cartesiane di $P$ sono legate a quelle sferiche mediante le formule:
(P) $\{(x = r sin phi cos theta), (y = r sin phi sin theta), (z = r cos phi):}$
quando $P$ è nel primo ottante aperto (cioè quando $r>=0$, $0 <= theta <= pi/2$ e $0 <= phi <= pi/2$). Però si può vedere con analoghi ragionamenti che le formule precedenti valgono anche in tutti gli altri ottanti e sugli assi (con le indeterminazioni che si sono dette se $P$ appartiene all’asse delle quote).
Le (P) si chiamano trasformazioni da coordinate sferiche a cartesiane.
Nello spazio $RR^3$ fissa un riferimento cartesiano ortonormale $Oxyz$ e scegli un punto $P$ che non stia sull’asse $z$.
Per questo punto $P$ passa un’unica superficie sferica di centro $O$: la lunghezza del raggio $OP$ di tale superficie sferica è la coordinata $r$ del punto $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Inoltre, per il punto $P$ passa un unico semipiano $alpha$ appartenente al fascio che ha per asse l’asse $z$; tale $alpha$ interseca il piano $Oxy$ in una semiretta uscente da $O$: l’anomalia $theta$ di tale semiretta rispetto al semiasse delle $x$ positive (i.e., l’angolo orientato formato dalla semiretta e dal semiasse delle ascisse positive) è la seconda coordinata di $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Infine, per il punto $P$ passa un’unica semiretta uscente da $O$ e tracciata sul semipiano $alpha$: l’anomalia $phi$ di tale semiretta rispetto al semiasse delle $z$ positive (i.e., l’angolo orientato formato dalla semiretta e dal semiasse delle quote positive) è la terza coordinata di $P$ nel sistema di coordinate polari che stiamo costruendo.
Dunque $P=(r, theta, phi)$ con $r$, $theta$ e $phi$ univocamente determinati se $P$ non è sull’asse $z$.
Cosa succede se, invece, $P$ sta sull’asse $z$?
Dipende… Quello che è certamente vero per tutti i punti $P$ di questo tipo è che la coordinata $r$ è sempre determinata e coincide sempre con la lunghezza di $OP$. Tuttavia, visto che tutti i semipiani appartenenti al fascio con asse l’asse $z$ passano per $P$, la coordinata $theta$ è completamente indeterminata per tutti i punti dell’asse delle quote.
Inoltre, se $P$ sta sul semiasse $z$ positivo, allora la semiretta da $O$ che passa per $P$ coincide con il semiasse $z$ positivo, quindi $phi = 0$; se, invece $P$ sta sul semiasse $z$ negativo, allora la semiretta da $O$ per $P$ coincide con il semiasse negativo e perciò $phi = pi$.
Infine, se $P =O$, è chiaro che $r=0$ però entrambe le coordinate angolari $theta$ e $phi$ risultano indeterminate.
Viceversa, assegnata una terna $(r,theta,phi)$ esiste al più un unico punto $P$ tale che: $r$ coincide con la lunghezza di $OP$; $theta$ coincide con l’angolo formato dal semipiano appartenete al fascio di asse $z$ che passa per $P$ con il semiasse $x$ positivo; $phi$ coincide con l’anomalia della semiretta di origine $O$ che passa per $P$ col semiasse $z$ positivo.
Limitazioni sulle coordinate sferiche
Dalla stessa definizione di $r$ segue che $r>=0$.
Dalla definizione di $theta$ segue che tale angolo varia in un intervallo di ampiezza $2pi$, poiché per individuare tutti i punti dello spazio (ad eccezione di quelli dell’asse $z$) bisogna far ruotare il semipiano $alpha$ attorno all’asse $z$ di un giro completo.
Pertanto, usualmente, o si sceglie $theta in [0,2pi[$ oppure $theta in ]-pi, pi]$.
Analogamente, dalla definizione di $phi$ segue che tale angolo varia in un intervallo di ampiezza $pi$, poiché per individuare tutti i punti dello spazio bisogna far ruotare nel semipiano mobile $alpha$ la semiretta $s$ uscente da $O$ dal semiasse $z$ positivo a quello negativo.
Perciò, usualmente si sceglie $phi in [0,pi]$.
Trasformazioni da coordinate sferiche a cartesiane
Scegliamo un punto $P$ nel primo ottante aperto, chiamiamone $(x,y,z)$ le coordinate cartesiane ed $(r, theta, phi)$ le coordinate sferiche.
Chiamiamo, inoltre, $H$ e $Z$ le proiezioni di $P$ sul piano $Oxy$ e sull’asse $z$ rispettivamente ed $X$, $Y$ le proiezioni di $H$ sugli assi $x$ ed $y$. Evidentemente, $H=(x,y,0)$, $X=(x,0,0)$, $Y=(0,y,0)$ e $Z=(0,0,z)$.
Come da definizione, $r$ è la lunghezza dell’ipotenusa comune ai triangoli rettangoli $\triangle OZP$ e $\triangle OHP$, rettangoli in $K$ ed $H$. Dato che, per definizione $phi$ è l’ampiezza dell’angolo $hat(POZ)$, la lunghezza del cateto $OZ$ è data da $r cos phi$ e, contemporaneamente, anche da $z$; dunque:
$z = r cos phi$.
D’altra parte, la lunghezza di $OH$ è data da $r sin phi$; dato che $OH$ è l’ipotenusa dei triangoli $\triangle OXH$ ed $\triangle OYH$ e visto che $theta$ è l’ampiezza dell’angolo $hat(HOX)$, le lunghezze dei cateti $OX$ ed $OY$ sono date, contemporaneamente, da $r sin phi cos theta$ ed $x$ e da $r sin phi sin theta$ ed $y$; dunque:
$x = r sin phi cos theta$ e $y = r sin phi sin theta$.
Ne consegue che le coordinate cartesiane di $P$ sono legate a quelle sferiche mediante le formule:
(P) $\{(x = r sin phi cos theta), (y = r sin phi sin theta), (z = r cos phi):}$
quando $P$ è nel primo ottante aperto (cioè quando $r>=0$, $0 <= theta <= pi/2$ e $0 <= phi <= pi/2$). Però si può vedere con analoghi ragionamenti che le formule precedenti valgono anche in tutti gli altri ottanti e sugli assi (con le indeterminazioni che si sono dette se $P$ appartiene all’asse delle quote).
Le (P) si chiamano trasformazioni da coordinate sferiche a cartesiane.
Grazie
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