Integrale Doppio

[Genny95]

Salve a tutti. Mi sono cimentato in questo esercizio di integrale doppio, ora io penso aver raggiunto la soluzione giusta però preferirei confrontarmi per essere sicuro di aver capito bene l'argomento e l'esercizio..
Sia $ A={(x,y)in R^2: arcsin x + arcsiny<= pi/2} $ calcola $ intint_A(1+y-x)dxdy$
Prima di tutto ho provato a rappresentare il dominio così:
$ arcsin x + arcsiny= pi/2 ->arcsiny=pi/2-arcsinx->y=sin(pi/2)-sin(arcsinx)->y=1-x $
Dunque trovo che il dominio, che è normale rispetto l'asse delle x, è la porzione di spazio racchiusa dal triangolo delineato dalla retta y=1-x. Dunque posso scrivere: 0 $ intint_A(1+y-x)dxdy=int_0^1(int_0^(1-x)(1+y-x)dy)dx=int_0^1(int_0^(1-x)dy+int_0^(1-x)ydy-x int_0^(1-x)dy)dx=int_0^1((1-x)+(1-x)^2/2-x(1-x)) $
Svolgendo il quadrato e sommano i termini simili ottengo che $ intint_A(1+y-x)dxdy=1/2$
Vi chiedo una conferma perchè ho qualche dubbio sull'argomento..
Grazie in anticipo!

[Mephlip]

Cosa è successo qui:

"Genny9":
$arcsiny=pi/2-arcsinx->y=sin(pi/2)-sin(arcsinx)$

? Presunta linearità del seno?

[Genny95]

dunque presumo che ho sbagliato...come avrei dovuto fare?

[Mephlip]

Diciamo che non so come aiutarti, perché l'errore è in un contesto che precede molto gli integrali doppi; poi volevo chiederti, tralasciando l'errore sul seno, come hai dedotto che $x$ ed $y$ sono positivi, visto che non abbiamo limitazioni dal basso sulla somma $\arcsin x + \arcsin y$ per come è scritto l'insieme $A$ (a parte la limitazione dal basso $-\pi$ che, tuttavia, proviene dalla limitatezza della funzione $\arcsin$).