Lunghezza curva in forma esplicita
Ciao! Ho un esercizio che proprio non riesco a risolvere:
Calcolare la lunghezza di $ y(t)= t^(1/3) $ nell'intervallo [0,5].
Il mio approccio è stato di calcolare $ L(y, [0,5])=sqrt(1+(y'(t))^2 $, ma poi non riesco a risolvere l'integrale... Ho provato a risolverlo con WolframAlpha, ma nel risultato viene fuori una funzione "Hypergeometrica", che sinceramente non ho idea di cosa sia.
Grazie mille!
Calcolare la lunghezza di $ y(t)= t^(1/3) $ nell'intervallo [0,5].
Il mio approccio è stato di calcolare $ L(y, [0,5])=sqrt(1+(y'(t))^2 $, ma poi non riesco a risolvere l'integrale... Ho provato a risolverlo con WolframAlpha, ma nel risultato viene fuori una funzione "Hypergeometrica", che sinceramente non ho idea di cosa sia.
Grazie mille!
Risposte
Beh, non ci vedo nulla di male.
Non tutti gli integrali sono elementarmente calcolabili.
Non tutti gli integrali sono elementarmente calcolabili.
Grazie della risposta gugo.
Quello che dici è vero, però l'esercizio era di una prova d'esame di Analisi 2 e a meno che io non abbia saltato qualcosa durante il corso (purtroppo video lezioni online), non abbiamo mai affrontato un integrale del genere, anzi gli integrali di esercizi simili erano spesso semplici...
Quindi credi che questo sia un integrale non risolvibile tramite calcoli elementari? In tal caso mi chiedo se fosse sbagliato il testo dell'esercizio...
Quello che dici è vero, però l'esercizio era di una prova d'esame di Analisi 2 e a meno che io non abbia saltato qualcosa durante il corso (purtroppo video lezioni online), non abbiamo mai affrontato un integrale del genere, anzi gli integrali di esercizi simili erano spesso semplici...
Quindi credi che questo sia un integrale non risolvibile tramite calcoli elementari? In tal caso mi chiedo se fosse sbagliato il testo dell'esercizio...
Quello che si può fare è provare a cambiare parametrizzazione.
Hai la curva di equazione $y=x^(1/3)$ con $x in [0,5]$; la sua parametrizzazione standard come curva-grafico è $\{(x=t),(y=t^(1/3)):}$ con $t in [0,5]$, ma nulla ti vieta di chiamare parametro la variabile $y$ ed ottenere $\{(x=t^3),(y=t):}$ con $t in [0, 5^(1/3)]$.
Usando la seconda, trovi:
$mathcal(L) = int_0^(5^(1/3)) sqrt(9t^4 + 1) text(d) t$
che probabilmente fa un po’ meno schifo di quella che hai trovato tu con la parametrizzazione standard, ma comunque non è elementarmente integrabile (per un teorema di Tchebichev che trovi qui, par. 4)
Hai la curva di equazione $y=x^(1/3)$ con $x in [0,5]$; la sua parametrizzazione standard come curva-grafico è $\{(x=t),(y=t^(1/3)):}$ con $t in [0,5]$, ma nulla ti vieta di chiamare parametro la variabile $y$ ed ottenere $\{(x=t^3),(y=t):}$ con $t in [0, 5^(1/3)]$.
Usando la seconda, trovi:
$mathcal(L) = int_0^(5^(1/3)) sqrt(9t^4 + 1) text(d) t$
che probabilmente fa un po’ meno schifo di quella che hai trovato tu con la parametrizzazione standard, ma comunque non è elementarmente integrabile (per un teorema di Tchebichev che trovi qui, par. 4)
Avevo già provato questa parametrizzazione, ma appunto anche qui non riuscivo a calcolare l'integrale.
Grazie sei stato molto chiaro!
Grazie sei stato molto chiaro!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo