Analisi matematica di base

Sia data la seguente funzione: f(x)= 3ln(1/x -1)+2x, di dominio (0,1) Consideriamo la funzione integrale F(x)=integrale tra 0 e x di f(t) dt La funzione F(x) è derivabile in (0,+infinito)? Ammette derivata seconda in (0,+infinito)? Io direi che non è derivabile, in quanto l'integranda non è definita per (0,+infinito). D'altro canto mi verrebbe da dire che sia derivabile per il teorema fondamentale del calcolo ntegrale, ma che non ammette derivata seconda. Aiuti?

Ciao, ho trovato questa vecchia discussione dimostrazione monotonia funzioni composte Il libro "Calcolo", di Marcellini/Sbordone propone il seguente esercizio "Siano $f$, $g$ due funzioni crescenti. Dimostrare che la funzione composta $f\circ g$ è crescente. Che cosa accade se $f, g$ sono decrescenti?" per la prima parte ho risolto come suggeriva Alex, adattando i nomi di funzione al caso $f ° g$, ma per quanto riguarda la seconda richiesta del problema non ...

Salve a tutti, ho dei dubbi per quanto riguarda il teorema come da titolo. Il dubbio risiede in questo fatto: Supponiamo che io ho la superficie $x^2+y^2+z^2=1$ e $x>=0$ E voglio calcolare il flusso del rotore di un certo campo $E$ attraverso questa superficie. Nel caso in cui stavo studiando l'esercizio, il campo vettoriale rendeva decisamente conveniente la scelta di supporre il dominio $D$ appartenere al piano $x=0$ e dunque ...

Ciao a tutti! ho il seguente dubbio: sia $f(x)=3\ln(1/x-1)+2x$, il cui dominio è $(0,1)$. Posto $F(x)=\int_0^x f(t) dt$, dire se: F(x) è derivabile in $(0,+\infty)$ F(x) ammette derivata seconda in $(0,+\infty)$ Io ad occhio direi che tale $F$ non ammette derivata prima, poichè in quell'insieme non è neanche continua, e se ammettesse derivata prima, allora per il teorema fondamentale del calcolo integrale, questa dovrebbe coincidere con f(x) su ogni compatto [a,b] ...

Buongiorno a tutti , ho un esercizio che mi chiede questo: $ int int (x^2+y^2) dx dy $ con: $ C = {(x,y)in R^2: x^2+y^2<=1; x>=0; y>=0} $ Ora io dovrei trasformarlo in coordinate polari, quindi ho posto $ x=rho cosvartheta $ $ y=rho sinvartheta $ e sostituisco nell'integrale e nel dominio. Ora il procedimento per risolvere l'integrale lo conosco, ma trovando che l'integrale è uguale a $ int int rho ^2drho dvartheta $ in quanto sostituendo e poi raccogliendo $ rho ^2(cos^2vartheta +sin^2vartheta ) $ la parentesi risulta uguale ad 1 Risulta che ...

Salve a tutti. Volevo chiedere un chiarimento riguardo alla soluzione di $ int_()^() sqrt(x^2+1)/x dx $ per sostituzione. Dunque, tale funzione è definita nell'insieme $ (-∞,0)uu (0,∞ ) $. Se ponessi $ t^2=x^2+1 $, la $ x $ la ricaverei dalla relazione inversa $ x=+- sqrt(t^2-1) $, e a quel punto dovrei operare una sostituzione a seconda dell'intervallo contenuto nel tratto del dominio che scelgo. Quello che non mi torna, è che $ sqrt(t^2-1) $ e $ -sqrt(t^2-1) $ sono rispettivamente ...

Buonasera ragazzi, vi domando una cosa. Qual'è il simbolo che a rigore si utilizza in matematica per definire la condizione AND, ossia "&". In pratica, in seguito ad una relazione matematica vorrei scrivere. $ m&n\ne1 $ la relazione di sopra in matematica non si è mai vista. Se però scrivo $ m,n\ne1 $ potrebbe accadere ad esempio che $ m=1 $ e $ n=2 $ e ovviamente non rientrerebbe nella mia condizione. Io vorrei escludere la possibilità dalla formula in cui si ha ...

Salve a tutti, ho da poco iniziato a risolvere le equazioni nel campo dei numeri complessi e durante lo svolgimento di questa equazione: $ z^3(z-i)-1-2z^2-z^4=0 $ ho moltiplicato $z^3$ per $(z-i)$ e semplificato $z^4$ con $-z^4$ ottenendo: $-iz^3-1-2z^2=0$ ma ora non so più come procedere per arrivare alle tre soluzioni. Qualcuno saprebbe darmi un suggerimento per poter andare avanti nell'esercizio? Grazie infinite

Buongiorno a tutti, avrei un dubbio su una dimostrazione di fisica tecnica, non capisco un passaggio matematico. Il passaggio incriminato è il seguente: $\bar(u) * grad(e_m) = grad*(e_m \bar(u))$ nello specifico: - $\bar(u)$ è il vettore velocità - $e_m$ è l'energia meccanica (scalare) - $grad$ è l'operatore gradiente - $grad *$ è l'operatore divergenza ho provato con la notazione di Einstein ma non mi risulta quest'uguaglianza .... qualcuno saprebbe aiutarmi? A me ...

Salve a tutti! Ho un dubbio sul seguente esercizio: Calcolare $$\int\limits_T (x^2+y^2+z)\,dx\,dy\,dz$$ Essendo $T={(x,y,z)\in R^3: x^2+y^2+z^2\le 2,\ x^2+y^2\ge z^2,\ z\ge 0}$ Il volume $T$ è compreso tra un cono ed una semisfera. Ho utilizzato le coordinate cilindriche, ma c'è qualcosa che non mi convince. Risulta: ${ ( 0\le \rho \le \sqrt{2} ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \min{\rho,\sqrt{2-\rho ^2}} ):}$ Penso non sia giusto. Infatti verrebbe ${ ( 0\le \rho \le 1 ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \rho ):}$ $\cup { ( 1\le \rho \le \sqrt{2} ),( 0\le \theta\le2\pi ),( 0\le z\le \sqrt{2-\rho ^2} ):}$ Ma così sto prendendo anche i punti dentro il cono, no? Cosa sto ...

Salve! Ho difficoltà con la dimostrazione del seguente teorema: Posto $ F(x)=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0), x_0in [a,b] $ Se $ F $ è convessa nell'intervallo [a,b], allora $ f $ è crescente in [a,b]\{x0}. L'avevo appuntato tempo fa, ma la mia professoressa non l'ha mai dimostrato. Inoltre, non riesco a trovarne l'enunciato da nessuna parte, nè tantomeno la dimostrazione. Grazie in anticipo a chiunque mi aiuterà

Salve. Oggi mi sono imbatttuto in un banalissimo quiz che mi ha lasciato da pensare, posto anche un commento sperando che qualcuno mi corregga o di ottenere conferme. Data $f(x)=x$ con $x \in (0,1)$ quale affermazione è vera: A) Presenta massimo in $x=1$ B) Presenta minimo in $x=0$ C) Non ha né massimi né minimi D) E' illimitata E) E' strettamente decrescente Le mie considerazioni: A) Falso, in quanto il punto è escluso dal dominio B) Idem C) Falso, in ...

Ciao a tutti! L'esercizio è il seguente (Pagani, Salsa, Analisi matematica 2 seconda edizione, p. 198): Dato il problema di Cauchy \(\displaystyle y'=\arctan y - \frac{1}{t} , y(1)=b>0\) 1)dimostrare unicità ed esistenza locale 2)determinare l'intervallo massimale di esistenza \(\displaystyle J_b \) 3)per i b tali che \(\displaystyle J_b=(0, +\infty) \) stabilire se esistono asintoti obliqui 4)dimostrare che esiste un unico b tale che \(\displaystyle J_b=(0,+\infty) \) e\(\displaystyle \lim_{t ...

Ciao a tutti, vorrei sottoporvi una domanda banale, ma che mi crea confusione In un problema arrivo ad avere la seguente serie $ D_n=sum_(k=0)^(infty) (-1)^k/(k!) f^(k)(0) $ che ricorda uno sviluppo di Taylor centrato in 0 di una funzione f con raggio di convergenza 1. Ora, so che la domanda è davvero imbarazzante, ma non riesco a venirne a capo. Come trovo il raggio di convergenza? Io so che una serie di taylor posso scriverla come $ sum_(k=0)^(infty) (x-x_0)^k/(k!) f^(k)(x_0) $ e in questo caso ho $ x_0=0 $ . Per trovare il raggio di ...

Salve, sto preparando l’ esame di Analisi Matematica 2 e sono alle prese con gli integrali doppi. Sto avendo difficoltà a risolvere questo esercizio: $ int int_(T)1/((x^2+y^2)^(3/2)) dx dy $ con $ T=C_1-C_2 $, essendo $ C_1 $ e $ C_2 $ i cerchi di raggio 1, centrati nei punti $ (0,1) $ e $ (0,0) $ Ho pensato che fosse possibile risolverlo sia tramite il passaggio a coordinate polari, sia riscrivendo il dominio come $ T = {(x,y)in R^2:-1<x<1, sqrt(1-x^2)<y<1+sqrt(1-x^2)} $ Tuttavia l’utilizzo delle ...

$ int int_(D)^() e^(-4x^2-y^2)dx dy $ dove D è la regione (illimitata) di spazio compresa fra le rette y=0 e y=2x. Tale esercizio non è molto diverso da quest'altro che ho trovato in una dispensa: $ int int_(E)^() e^(-x^2-y^2)dx dy $ dove E è un cerchio illimitato (raggio infinito) centrato nell'origine, formalmente esprimibile come l'insieme dei punti (x,y) tali che $ x^2+y^2<n^2 $ per $ n in N->+oo $ . Passando alle coordinate polari, abbiamo $ 2piint_(0)^(n) pe^(-p^2) dp=pi(1-e^(-n^2))->pi $ . Nel mio caso, però, la situazione è più ...

ciao. Sto facendo un esercizio e credo di averlo svolto ma vorrei una conferma da voi. eccolo: sia $f:RRtoRR$ funzione \( t.c. f(\limsup a_n)=\limsup f(a_n), \) $ AA {a_n}sub RR $ successione limitata, Dimostra che f è continua. (limsup è il sup tra i possibili limiti) Questo è come ho provato a farlo: sia $x_0inRR$. sia $ {a_n}sub RR $ successione limitata con $a_ntox_0$. Per il teorema ponte: $ lim_(x -> x_0) f(x)=lim f(a_n) $ ma allora: \( \lim f(a_n)=\limsup f(a_n) \) poichè se ...

Salve a tutti. Il risultato a cui sono giunto mi è sembrato a dir poco paradossale, soprattutto perché è un aspetto che non è mai stato sottolineato. Partiamo con un esempio: $ f(x)=1/(x+1 $ e $ g(x)=2/(2x+2) $ sono indubbiamente funzioni equivalenti. Tuttavia, non posso dire lo stesso per le primitive; infatti $ int_()^()1/(x+1) dx=log|x+1|+c $ e $ int_()^()(2)/(2x+2) dx=log|2x+2|+c $. La domanda sorge spontanea: mi sfugge qualcosa (magari legato alle costanti arbitrarie), oppure i risultati a cui siamo giunti sono ...

Buonasera, avrei bisogno di chiarimenti per risolvere un esercizio che non capisco.. L'esercizio in questione è il seguente: (a) Determinare il carattere dell’integrale improprio $ int_(0)^(pi/2) tanx dx $ (b) Calcolare $ lim_(c -> pi/2-) (pi/2-c)int_(0)^(c) tanx dx $ Per quanto riguarda il primo punto io dovrei verificare se esiste $ lim_(c -> pi/2-) int_(0)^(c) tanx dx $, per fare ciò sfrutterei i criteri sulla convergenza, che posso applicare dal momento che la funzione $ tanx $ è positiva nell'intervallo considerato. Questo nella ...

Come da titolo, ho una domanda abbastanza secca da cui purtroppo non riesco a uscire nonostante le ore dedicatele. Mi trovo in uno spazio vettoriale $X$ normato, di dimensione finita. Questo ovviamente è anche uno spazio metrico \(\displaystyle (X,d) \) dove \(\displaystyle d \) è la metrica naturale indotta dalla norma \(\displaystyle |\cdot |_X \). In tale spazio individuiamo l'insieme dei vettori a norma unitaria \(\displaystyle X_1:=\{x\in X |\; |x|_X=1\} \). Sono riuscito a ...