Calcolo di limite con simboli Landau
Ciao, il libro "Esercizi di Analisi 1" di S. Lancelotti propone il seguente limite
\[
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x+\sin 3x}{x-\sin 2x}}
\]
La soluzione è $-4$ e l'autore raccoglie a numeratore e a denominatore il termine $x$, poi giunge al risultato utilizzando il limite notevole
\[
\frac{\sin f(x)}{f(x)}\rightarrow 1
\]
per $f(x)$ che tende a 0. Io ho provato a risolvere l'esercizio con i simboli di Landau in questo modo
\[
\sin 3x\sim 3x, x\rightarrow 0
\]
quindi uso la proprietà che lega o-piccolo e asintotico
\[
\sin 3x\sim 3x\Leftrightarrow\sin 3x = 3x + o(x), x\rightarrow 0
\]
Lo stesso faccio per il termine $\sin 2x$ al denominatore quindi scrivo
\[
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x+\sin 3x}{x-\sin 2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x+3x+o(x)}{x-2x+o(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{4x}{-x}}=-4
\]
È corretto? Il dubbio mi sorge dal fatto che sul libro del Canuto (ma anche sulle dispense dell'Università e sul libro del Lancelotti) viene rimarcato il fatto che l'uso dell'asintotico nelle somme algebriche è problematico, cito il Canuto: "Le precedenti regole di ‘semplificazione’ nel calcolo dei limiti valgono soltanto nel caso di prodotti o quozienti. Non è lecito applicare tali regole nel calcolo del limite di una somma o differenza di funzioni."
\[
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x+\sin 3x}{x-\sin 2x}}
\]
La soluzione è $-4$ e l'autore raccoglie a numeratore e a denominatore il termine $x$, poi giunge al risultato utilizzando il limite notevole
\[
\frac{\sin f(x)}{f(x)}\rightarrow 1
\]
per $f(x)$ che tende a 0. Io ho provato a risolvere l'esercizio con i simboli di Landau in questo modo
\[
\sin 3x\sim 3x, x\rightarrow 0
\]
quindi uso la proprietà che lega o-piccolo e asintotico
\[
\sin 3x\sim 3x\Leftrightarrow\sin 3x = 3x + o(x), x\rightarrow 0
\]
Lo stesso faccio per il termine $\sin 2x$ al denominatore quindi scrivo
\[
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x+\sin 3x}{x-\sin 2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{x+3x+o(x)}{x-2x+o(x)}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{4x}{-x}}=-4
\]
È corretto? Il dubbio mi sorge dal fatto che sul libro del Canuto (ma anche sulle dispense dell'Università e sul libro del Lancelotti) viene rimarcato il fatto che l'uso dell'asintotico nelle somme algebriche è problematico, cito il Canuto: "Le precedenti regole di ‘semplificazione’ nel calcolo dei limiti valgono soltanto nel caso di prodotti o quozienti. Non è lecito applicare tali regole nel calcolo del limite di una somma o differenza di funzioni."
Risposte
Ciao 
Allora, è certamente proibito sostituire le funzione asintotiche nelle somme senza mettere il simbolo di o piccolo. Esempio tipico che ti può portare in errore.
$lim_(x->0) (sin x-x+x^10)/(x^3)=lim_(x->0) (x-x+x^10)/(x^3)=lim_(x->0) (x^10)/(x^3)=lim_(x->0) x^7=0$
Ciò è clamorosamente sbagliato.
Non commetti invece alcun errore se metti il simbolo di o piccolo. Nel caso in questione ottieni.
$lim_(x->0) (x-x+o(x)+x^10)/(x^3)=lim_(x->0) (o(x)+x^10)/(x^3)=lim_(x->0) (o(x))/(x^3)=lim_(x->0) o(1/x^2)$
Di conseguenza l'unica informazione che ottieni è che la tua funzione è trascurabile rispetto a una divergente...ovvero non ottieni un bel nulla
Quando succedono cose così (ovvero che ti rimane solo un o piccolo) è segno che non hai messo un numero sufficiente di termini nello sviluppo. Infatti per risolvere in maniera corretta l'esercizio è necessario sviluppare ulterirmente il seno.
Nel tuo caso invece hai fatto uso in maniera corretta degli o piccoli.
Allora, è certamente proibito sostituire le funzione asintotiche nelle somme senza mettere il simbolo di o piccolo. Esempio tipico che ti può portare in errore.
$lim_(x->0) (sin x-x+x^10)/(x^3)=lim_(x->0) (x-x+x^10)/(x^3)=lim_(x->0) (x^10)/(x^3)=lim_(x->0) x^7=0$
Ciò è clamorosamente sbagliato.
Non commetti invece alcun errore se metti il simbolo di o piccolo. Nel caso in questione ottieni.
$lim_(x->0) (x-x+o(x)+x^10)/(x^3)=lim_(x->0) (o(x)+x^10)/(x^3)=lim_(x->0) (o(x))/(x^3)=lim_(x->0) o(1/x^2)$
Di conseguenza l'unica informazione che ottieni è che la tua funzione è trascurabile rispetto a una divergente...ovvero non ottieni un bel nulla
Quando succedono cose così (ovvero che ti rimane solo un o piccolo) è segno che non hai messo un numero sufficiente di termini nello sviluppo. Infatti per risolvere in maniera corretta l'esercizio è necessario sviluppare ulterirmente il seno.Nel tuo caso invece hai fatto uso in maniera corretta degli o piccoli.
Perfetto, grazie.
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