Azione di un gruppo su un insieme

[milos144]

Ho trovato questo esempio:

Suppose that G = S4, the group of permutations on the set S = {1, 2, 3, 4}. We
illustrate the action of G on S as in the following examples:
$(a) (12)(34).3 = 4$
$(b) (12)(34).2 = 1$
$(c) (1234).2 = 3$
$(d) (132)(12).2 = 3$
$(e) (132)(12).4 = 4$

Finalmente, abbiamo un esempio di matrici che agiscono su un vettore.

Ebbene non capisco come sono arrivati, per esempio, a dire che

$(c) (1234).2 = 3$

Grazie in anticipo

[killing_buddha]

$S_4$ agisce sull'insieme $\{1,2,3,4\}$ nel modo descritto dalla rappresentazione di una permutazione come prodotto di cicli: $(ijk)$ significa che $i$ va in $j$ e $j$ va in $k$ mediante la permutazione. Infine $k$ va in $i$, perché la permutazione è un ciclo.

Noto questo, è evidente cosa significano quelle scritture: $(12)(34)$ applicato a $3$ lo manda in $4$, mentre invece manda $2$ in $1$. Quando un elemento non compare nella scrittura ciclica di una permutazione, significa che è rimasto fermo.

[milos144]

Intanto grazie.
Un dubbio: ma qual è il legame con le matrici che agiscono su un vettore?

[killing_buddha]

Il legame è pensare che una permutazione permuti i vettori di una base di $\mathbb R^4$. In tale base la matrice è una matrice di permutazione: https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_matrix ha determinante $\pm 1$, e in essa compare esattamente un 1 in ogni riga e in ogni colonna.