Anello degli interi di Gauss
Buonasera,
ho il seguente esercizio:
"sia $R=ZZ$ dimostrare che ogni ideale primo non nullo di R contiene almeno un numero primo"
Io ho pensato di risolverlo in questo modo:
Io so che tutti gli ideali primi di $ZZ$ sono di due tipi:
o $(p)$ con $p=3(mod4)$ e primo
o $(a+ib)$ con $N(a+ib)=a^2+b^2$ un numero primo.
Considero il caso in cui I ideale di R abbia la forma $(p)$ con $p=3(mod4)$, in questo caso non ho nulla da dimostrare perche' l'ideale contiene gia' p che e' un numero primo
Prendo il caso in cui $(a+ib)$ con $N(a+ib)=a^2+b^2$ un numero primo. Sapendo che la norma di I ideale che genera R e' un numero primo posso affermare che l'ideale contiene il numero primo $a^2+b^2$ in quanto la norma altro non e' che $(a+ib)$ per il suo coniugato. Anche in questo caso io ho che quindi l'ideale contiene un primo.
E' giusto? C'e' una strada piu' semplice che non usa il fatto che io gia' conosco come sono fatti gli ideali primi di R?
ho il seguente esercizio:
"sia $R=ZZ$ dimostrare che ogni ideale primo non nullo di R contiene almeno un numero primo"
Io ho pensato di risolverlo in questo modo:
Io so che tutti gli ideali primi di $ZZ$ sono di due tipi:
o $(p)$ con $p=3(mod4)$ e primo
o $(a+ib)$ con $N(a+ib)=a^2+b^2$ un numero primo.
Considero il caso in cui I ideale di R abbia la forma $(p)$ con $p=3(mod4)$, in questo caso non ho nulla da dimostrare perche' l'ideale contiene gia' p che e' un numero primo
Prendo il caso in cui $(a+ib)$ con $N(a+ib)=a^2+b^2$ un numero primo. Sapendo che la norma di I ideale che genera R e' un numero primo posso affermare che l'ideale contiene il numero primo $a^2+b^2$ in quanto la norma altro non e' che $(a+ib)$ per il suo coniugato. Anche in questo caso io ho che quindi l'ideale contiene un primo.
E' giusto? C'e' una strada piu' semplice che non usa il fatto che io gia' conosco come sono fatti gli ideali primi di R?
Risposte
Mi sembra giusto, ti serve davvero un altro modo di dimostrarlo?
Se $R$ è non nullo contiene un $a+ib ne 0$, quindi contiene $(a+ib)(a-ib) = a^2+b^2 = m ge 1$, ora se $m=1$ allora $R=ZZ$ che è un caso banale, se invece $m$ è maggiore di $1$ allora si decompone come prodotto di numeri primi in $ZZ$ e siccome $R$ è un ideale primo contiene uno di questi fattori.
"Martino":
Se $R$ è non nullo contiene un $a+ib ne 0$, quindi contiene $(a+ib)(a-ib) = a^2+b^2 = m ge 1$, ora se $m=1$ allora $R=ZZ$ che è un caso banale, se invece $m$ è maggiore di $1$ allora si decompone come prodotto di numeri primi in $ZZ$ e siccome $R$ è un ideale primo contiene uno di questi fattori.
Questo è quello che avevo pensato anche io per un metodo alternativo di risoluzione ma avevo un dubbio. Secondo questo ragionamento la norma di un numero $a+ib$ può anche essere un numero non primo che però si scompone in prodotto di numeri primi. Secondo la proposizione però io so che se la norma non è un primo, l'ideale non è primo. Quindi in realtà è un discorso che vale in generale oppure...?
Sto solo usando che R è un ideale primo. Se un prodotto sta in R allora uno dei fattori sta in R.
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