Esercizio sui gruppi

[Alessio1113]

Ciao , ho problemi con questo esercizio:
Considerato il gruppo additivo ( Q, +) e il suo sottogruppo (Z,+)
1) Dimostrare che ogni elemento di Q/Z ha ordine finito.
2) Dimostrare che per ogni n $in$ N-{0} esiste ed è unico un sottogruppo di Q/Z ciclico di ordine n
Non ho le idee molto chiare, gli elementi di Q/Z che forma hanno?

[Studente Anonimo]

Un elemento di $QQ//ZZ$ ha la forma $q+ZZ$ cioè è una classe laterale, $q+ZZ = {q+n : n in ZZ}$. La somma in questo quoziente è definita semplicemente da $(a+ZZ)+(b+ZZ) = a+b+ZZ$ (come per tutti i gruppi quoziente).

Ora se tu hai $q=a/b$ in $QQ$ (ricorda che ogni numero razionale è una frazione tra due numeri interi) con $b$ positivo diciamo (il segno della frazione è determinata da $a$) allora per rispondere alla prima domanda devi riuscire a scrivere una somma $a/b+a/b+...+a/b$ la cui classe in $QQ//ZZ$ sia zero, cioè $a/b+a/b+...+a/b in ZZ$. In altre parole devi rispondere alla domanda: riesco a trovare un numero $n$ tale che se sommo $a/b$ con se stesso $n$ volte ottengo un intero? Prova.

Per rispondere alla seconda domanda prova a dimostrare che tale unico sottogruppo ciclico di ordine $n$ è $H = {q+ZZ : nq in ZZ}$. Come si fa? Prendi $C$ sottogruppo ciclico di ordine $n$ di $QQ//ZZ$ (qualsiasi!) e mostra che $C=H$. Ti consiglio di dimostrare le due inclusioni separatamente.