Anelli, ideali e matrici

[manuelb93]

Buonasera, chiedo gentilmente una mano con l'esercizio che segue:
Sia A l'anello

$A\ =\ {((a, b),( b, a))\ :\ a,b\ in\ mathbb(Z)/(3mathbb(Z))}$

1) Determinare gli elementi non unitari di A;
2) Mostrare che A ha solo due ideali propri (diversi dagli ideali banali A e ${0}$).
Parziale svolgimento:
1) Gli elementi non unitari di $A$ sono quelli non invertibili, cioè le matrici di coefficienti in $mathbb(Z)/(3mathbb(Z))$ con determinante uguale a zero. Ciò avviene per:
-$a=b$;
-$a=[2],\ b=[1]$, $a=[1],\ b=[2]$;

2)Gli ideali propri sono quelli che non contengono l'unità dell'anello.

Ne ho trovato uno:

$I_1={((0, 0),(0, 0)), ((1, 2), (2, 1)), ((2, 1), (1, 2))}$. Dove 0, 1, 2 rappresentano le classi $[1], [2]$ e $[3]$.
Ho verificato che si tratta di un ideale usando il criterio per sottogruppi finiti per mostrare che è sottogruppo additivo di $(A,+)$ e svolto i calcoli manualmente per mostrare che il prodotto di ogni elemento di $I_1$ per un elemento di $A$ appartiene a $I_1$. Ovviamente non è proprio e nemmeno banale.

L'altro però non so come trovarlo, e ancora meno ho idea di come dimostrare che questi siano unici.

Grazie a chi risponderà

[Shocker1]

E' chiaro che se un ideale è proprio allora non contiene elementi unitari. Nel primo punto hai trovato gli elementi non unitari, nel secondo hai trovato(non ho controllato i conti) un ideale proprio, che però non contiene tutti gli elementi non unitari. Potresti giocare con i rimanenti e vedere se ne viene fuori un ideale.

[manuelb93]

Infatti ho pensato anche io ad una cosa del genere, ovvero un ideale costituito dalle matrici i cui coefficienti sono del tipo $a=b$. Effettivamente avevo sbagliato i conti in questo secondo caso. Inoltre così ha senso, poiché se "finisco" gli elementi unitari, i due ideali che ho trovato non possono che essere unici. Non posso nemmeno mettere matrici di entrambi i casi nello stesso ideale perché non avrei un ideale proprio.

Ti chiedo solo conferma, ma sono abbastanza convinto.

[Shocker1]

"manuelb93": Effettivamente avevo sbagliato i conti in questo secondo caso. Inoltre così ha senso, poiché se "finisco" gli elementi unitari, i due ideali che ho trovato non possono che essere unici. .

finisci gli elementi non unitari, magari. Altrimenti cosa intendi?

Ti chiedo solo conferma, ma sono abbastanza convinto.

E' giusto.

Quindi gli ideali sono $ I_1={((0, 0),(0, 0)), ((1, 2), (2, 1)), ((2, 1), (1, 2))} $ e $I_2 = { ((0, 0),(0, 0)), ((1, 1), (1, 1)), ((2, 2), (2, 2)), ( (3, 3), (3, 3))}$, è chiaro che sono ideali, la verifica della somma è banale, per il prodotto: se $( (a, b), (b, a)) \in A$ e $((x, x), (x, x)) \in I_2$ allora $( (a, b), (b, a)) ((x, x), (x, x)) = ( (ax + bx, ax + bx), (ax + bx, ax + bx))$.
E' facile vedere che intersezione, prodotto, somma e compagnia sono tutti banali.
Per l'unicità: prendi un ideale non banale $I$, allora affinché sia $I != {0}$ e $I != A$ deve contenere un elemento non invertibile, quindi uno di quelli che hai trovato, da qui si deduce che se contiene quelli di tipo 1) allora ottieni $I_1$, se contiene quelli di tipo $2$ allora è $I_2$(es: se $I_2 \subset I$, se aggiungi un altro elemento non unitario, ne ricavi uno invertibile e l'ideale diventa l'anello, assurdo! Quindi $I_2 = I$).

[manuelb93]

"Shocker":finisci gli elementi non unitari, magari. Altrimenti cosa intendi?

Certo che intendo i non unitari. Scusami, ho scordato un "non".

Riguardo al resto sei stato chiarissimo, ti ringrazio molto