Gruppi ciclici
Ciao,
sia $G = \langle g \rangle $ gruppo ciclico di ordine 90, quanti sottogruppi di ordine 15 ha $\langle (g^6) \rangle \times \langle (g ^10) \rangle$?
Della forma $A \times B$ ho trovato che ha solo $\langle (g^6) \rangle \times \langle 1 \rangle$ e $\langle (g^18) \rangle \times \langle (g ^30) \rangle$, potete darmi qualche suggerimento per verificare se ce ne sono altri?
sia $G = \langle g \rangle $ gruppo ciclico di ordine 90, quanti sottogruppi di ordine 15 ha $\langle (g^6) \rangle \times \langle (g ^10) \rangle$?
Della forma $A \times B$ ho trovato che ha solo $\langle (g^6) \rangle \times \langle 1 \rangle$ e $\langle (g^18) \rangle \times \langle (g ^30) \rangle$, potete darmi qualche suggerimento per verificare se ce ne sono altri?
Risposte
Se fossi in te userei il fatto che un gruppo abeliano di ordine 15 è per forza ciclico (e curiosamente questo vale anche se togli l'ipotesi "abeliano" in questo caso). Contare i sottogruppi ciclici di ordine 15 è più facile: basta contare gli elementi di ordine 15 e dividere per $phi(15)$ (il numero di generatori di ognuno).
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