Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutti
ho queste due domande di teoria (vero o falso con spiegazione):
a) Se $X,<=$ è un reticolo finito allora $X$ ha minimo e massimo
b) Per ogni $k$ con $1<=k<=12$ esistono elementi di $S_5$ di ordine $k$
allora la prima mi sembra falsa dato che un reticolo deve avere estremo superiore ed estremo inferiore e non per forza un minimo e un massimo (l'estremo superiore è il minimo dell'insieme dei maggioranti ...
Ciao a tutti!
Ho la seguente relazione $ rho $ su $ ZZ xx NN $ :
$ (a,b) rho (c,d) $ quando $ a < c $ oppure $ a = c $ e $ d | b $
devo verificare se la relazione è un ordine totale oppure un reticolo.
Non sono riuscito a capire come dimostrare la totalità della relazione per quanto riguarda l'ordine totale. Invece per la dimostrazione delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva nessun problema.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Ho due esercizi che ho svolto ma sui quali ho ancora un pò di dubbi.
1) Si consideri $f=(x^1+1)(x^4+x^2+1)$
Determinare il campo $E$ di spezzamento su $QQ$ di $f$ e descrivere, se esistono, i $QQ$-omomorfismi $QQ(xi_3) \to E$ ove $\xi_3$ è una radice primitiva cubica dell'unità.
Se non ho commesso errori il campo $E=QQ(i,sqrt(3))$, quindi il grado $[E]=4$ ed una $QQ$-base di $E$ è ...
Ciao, volevo chiderevi una mano per questo esercizio:
Sia $I$ l'ideale di $Z[x]$ generato da ${4 , 2x}$. Quali sono gli elementi di $I$ ?
Ecco come ho provato a risolverlo io:
Ho detto che $ I = {f*4 + g*2x | f, g ∈ Z[x]} $. Innanzitutto ho verificato che $I$ così definito fosse un'ideale (vi tralascio le verifiche), quindi, siccome $I$ è il più piccolo ideale di $Z[x]$ contenente ${4 , 2x}$ ho provato a ...
1)Provare che $g(x)=x^3+x^2+1$ è irriducibile in $ZZ_2$.(fatto)
2)sia $alpha$ una sua radice,costriure $Z_2(alfa)$e trovare l'inverso di $3+alpha$ (non so farlo:-\ )
3)verificare che $Z_2(alpha)$ è spazio vettoriale su $Z_2$ e determinare una sua base
mi potete aiutare con i punti 2e 3?
Ciao a tutti!!!
volevo scrivere questo esercizietto che mi è capitato in un tema d'esame ma che non riesco a rivolvere.
Dare un esempio di Z-moduli non isomorfi con annullatore 6Z.
Allora la teoria mi dice che due moduli sono isomorfi se e solo se hanno la stessa sequenza di fattori invarianti.
Ma due Z moduli che hanno annullatore 6Z sono:
M=$Z_6$ e N=$Z_2$+$Z_3$
Ovviamente il modulo N è in somma diretta.
Ma i fattori invariani di M sono 2 e ...
Ciao a tutti, ho provato in diversi modi ad affrontare questo esercizio ma non ne vengo a capo, non riesco a capire cosa bisogna trovare:
$AA n in NN,$, determinare $(n − 1)! " mod " n$.
Mi sapete suggerire qualche idea?
Grazie
Buongiorno a tutti,
sulle mie dispense di matematica discreta, per trovare tutte le soluzioni di $ax+by=c$ leggo:
calcolare $d = MCD(a, b)$ e verificare che d | c ;
trovare una soluzione particolare $(x_0, y_0)$ ;
si puo' usare l’algoritmo euclideo per trovare $m, n \epsilon ZZ$ tali che $am + bn = d$
e, se $c = de$ , avere la soluzione $x_0 = m*e$ $y_0 = n*e$
scrivere la soluzione generale ${ (x_0 + \beta t, y_0 -\alpha t) | t \epsilon ZZ }$ dove ...
Sappiamo che se $I,J$ sono ideali, allora l'ideale somma $I+J={a+b|a in I, b inJ }$ è un ideale.
Sappiamo inoltre che vale questa relazione $(m)+(n)=(d)$ in $ZZ$, con $d=MCD(m,n)$
Mi chiedevo allora, se siamo in $ZZ<em>$ e se $I,J$ sono principali, possiamo concludere che $I+J=(d)$?
Salve.
Stavo riguardando il (banale) teorema (?) che dice che la somma dei gradi di un grafo non orientato è uguale a due volte la cardinalità dell'insieme degli archi $E$.
La cosa è molto semplice; il grado rappresenta la cardinalità dell'insieme degli archi incidenti in un dato nodo $v$ dunque diciamo che $\delta(v) = #E_v, E_v = \{e_1, e_2 \in E_v \sub E\ |\ e_1 = (u, v),\ e_2 = (v, u),\ u,v \in \NN,\ u \ne v\}$ (E dunque si vede facilmente per induzione che per ogni nodo connesso da un arco sommo la "parte entrante" e la "parte uscente")
Ma nel ...
ho ques'esercizio
SIA A=Z4[X,Y]. determinare qualche zero divisore di A e qualche catena ascendente stazionaria di idelai di A.
premetto che nella teoria so cosa è.. ma nn so cm impostare x procedere l'esercizio
Z4 non è un dominio d'integrita' perchè ho zero divisori...il 2 è zero divisore infatti..
ma qui si tratta di Z4[X.Y].. cm faccio?
posso scrivere che un Z4[X,Y]={aX+b|a,b appartengo a Z4}?
e poi cm vado avanti?:(
Ciao a tutti, volevo un parere su questo esercizio.
Sia $A=ZZ<em>//(169)$ e sia $B=ZZ<em>//(2+3i)$. Determinare un omomorfismo $phi:A \to B$ e calcolare il nucleo di $phi$
Ora il mio scopo è assegnare l'immagine del nucleo, sfruttando i teoremi di isomorfismo. Osservo inoltre che $169=13^2=[(2-3i)(2+3i)]^2$
Allora avevo pensato che porre $phi(a+bi)=(3a+2b)$ potesse essere un'assegnazione valida, in quanto $phi(2-3i)=0$ ed effettivamente $phi(169)=0$, però non so se tale ...
Ciao a tutti non riesco a venire a capo di questo esercizio:
Sia f una funzione dove f:Z->Z ed $ R sube ZxZ $ una Relazione cosi definita (n,m) $ in $ R sse n ed m entrami pari ed f(n)=f(m) oppure n ed m entrambi dispari.
Nel caso in cui f sia così definita:
f(n)=n+1 se n pari
f(n)=|n+1| se n dispari
determinare le classi di equivalenza di R.
Grazie e tutti in anticipo.
Salve,
Con che regole si calcolano gli inversi con l'Identità di Bezout?
ad esempio: tra 30 e 11 (per risolvere $11X=5 (mod 30)$)
$30=11*2+8$
$11=8*1+3$
$8=3*2+2$
$3=2*1+1$
Da cui ricaviamo i resti:
$8=30-11*2$
$3=11-8$
$2=8-3*2$
$1=3-2$
Quello che non mi viene è il calcolo per trovare l'inverso, la professoressa sulle correzioni scrive:
$1 = 3 - 2 = 3 - (8 - 2 * 3) = 3 * 3 - 8 = 3 * (11 - 8) - 8 = 3 * 11 - 4 * 8 = 3 * 11 - 4 (30 - 2 * 11) = 11 * 11 - 4 * 30$
Ora, nel primo passaggio ha scritto come ha ...
Ho fatto questo esercizio prima, ma vorrei che qualcuno confermasse o smentisse la risoluzione perchè non ne sono convinto.
Esercizio: Si consideri $f=x^5+x^4-x^2+x-1$ in $ZZ_3[x]$.
Determinare il campo di spezzamento $E$ di $f$ su $ZZ_3[x]$ e si determini una base di $E$ come spazio vettoriale
Determinare inoltre tutte le radici di $f$ in $E$ rispetto a tale base.
Vediamo subito che ...
Salve non mi è chiaro tutto della dimostrazione del seguente risultato:
Siano $p$ primo, $p!=2$ e $a>=1$ $=>$ l'equazione congruenziale $x^2-=1(p^a)$ ha 2 soluzioni non equivalenti.
La professoressa lo ha dimostrato in questo modo:
se $c$ è soluzione di $x^2-=1(p^a) => c^2-=1(p^a) => p^a|(c^2-1)=(c-1)(c+1)$
a questo punto dice che siccome $p!=2 => p^a|(c-1)$ oppure $p^a|(c+1)$
Per piacere qualcuno mi può dire come si dimostra quest'ultima ...
Vorrei dimostrare il seguente risultato:
Se $E$ è un'estensione di un campo $F$, se $f(x)$ e $g(x)$ $in F[x]$ e se $MCD (f(x), g(x))=x-a$ in $E[x]$, allora risulta $MCD (f(x), g(x))=x-a$ in $F[x]$.
Il libro dal quale l'ho tratto lo da come ovvio, solo dice che in $F[x]$ il MCD è un divisore del MCD ottenuto in $E[x]$ e siccome l'unico divisore (oltre all'unità) di $x-a$ è ...
Salve.. mi sono imbattuta in questo esercizio..
Sia A=$QQ(sqrt(5))[X]$/$(X^2-X+2)$
1)Provare che A è un campo di estensione di $QQ(sqrt(5))$.
2)Si consideri l'estensione $QQ(\pi^4)$ su $QQ$. Mostare che $\pi$è algebrico su $QQ(\pi^4)$ e che $QQ(\pi^4)~=QQ(\pi)$
3)Costruire esplicitamente l'estensione $A=QQ(sqrt(5),\pi)$ e mostare che non è algebrica su $QQ$.
spero mi aiutate.. perchè non so dove metter mano per prima ...
il primo ...
salve a tutti. ho questo esercizio e non riesco ad impostarlo..ho vari enigma..ecco il testo:
Sia $f(X)=X^(4)-2X^(3)-13X^(2)-2X+1$
1)mostare che $f(X)$ è riducibile in $QQ[X]$ ma non ha radici in $QQ$.
2)determinare un campo di spezzamento $F$ di $f(X)$ su $QQ$ e descrivere i campi compresi tra $QQ$ e $F$.
3)sia $A=QQ[X^(2)]subQQ[X]$.Provare che A è un dominio e scrivere 2 elementi.Stusiare A a meno di ...
l'esercizio dice:
studiare l'estensione $Q(sqrt(3),(sqrt(7)))$ su $Q(sqrt(3))$ e se Q.
come l imposto le inclusioni con l'estensioni successive?
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