M.C.D di due polinomi
Vorrei dimostrare il seguente risultato:
Se $E$ è un'estensione di un campo $F$, se $f(x)$ e $g(x)$ $in F[x]$ e se $MCD (f(x), g(x))=x-a$ in $E[x]$, allora risulta $MCD (f(x), g(x))=x-a$ in $F[x]$.
Il libro dal quale l'ho tratto lo da come ovvio, solo dice che in $F[x]$ il MCD è un divisore del MCD ottenuto in $E[x]$ e siccome l'unico divisore (oltre all'unità) di $x-a$ è $x-a$ stesso, allora anche in $F[x]$ il MCD coincide con $x-a$.
Perché il MCD in $F[x]$ non può essere $1$ ? Perché il libro esclude che sia $1$ ?
Aiutatemi a capire il significato della spiegazione data dal libro o, in alternativa, datemi una dimostrazione più chiara e precisa.
Se $E$ è un'estensione di un campo $F$, se $f(x)$ e $g(x)$ $in F[x]$ e se $MCD (f(x), g(x))=x-a$ in $E[x]$, allora risulta $MCD (f(x), g(x))=x-a$ in $F[x]$.
Il libro dal quale l'ho tratto lo da come ovvio, solo dice che in $F[x]$ il MCD è un divisore del MCD ottenuto in $E[x]$ e siccome l'unico divisore (oltre all'unità) di $x-a$ è $x-a$ stesso, allora anche in $F[x]$ il MCD coincide con $x-a$.
Perché il MCD in $F[x]$ non può essere $1$ ? Perché il libro esclude che sia $1$ ?
Aiutatemi a capire il significato della spiegazione data dal libro o, in alternativa, datemi una dimostrazione più chiara e precisa.
Risposte
Usa l'identità di Bezout. Scrivi [tex]a(x)f(x)+b(x)g(x)=d(x)[/tex] dove [tex]d(x)=MCD(f(x),g(x))[/tex] in [tex]F[X][/tex]. Allora il MCD in [tex]E[X][/tex] deve dividere [tex]d(x)[/tex] perché divide [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex].
A pensarci bene non serve usare l'identità di Bezout.
A pensarci bene non serve usare l'identità di Bezout.
L'ipotesi è che in $E[x]$ $MCD(f(x),g(x))=x-a$ e occorre provare che anche in $F[x]$ $MCD(f(x),g(x))=x-a$.
Quello che non capisco è perché in $F[x]$ il MCD non possa essere 1.
Quello che non capisco è perché in $F[x]$ il MCD non possa essere 1.
Ma vi sono delle ipotesi su quell'elemento [tex]a[/tex]?
"Angelo":Se un polinomio divide sia f(x) che g(x) in F[X] a maggior ragione li dividerà in E[X]. E quindi tale polinomio sarà certamente diviso dal MCD calcolato in E[X]. Quindi se il MCD in E[X] non è 1 allora il MCD in F[X] non può essere 1.
Quello che non capisco è perché in $F[x]$ il MCD non possa essere 1.
"Martino":Se un polinomio divide sia f(x) che g(x) in F[X] a maggior ragione li dividerà in E[X]. E quindi tale polinomio sarà certamente diviso dal MCD calcolato in E[X]. Quindi se il MCD in E[X] non è 1 allora il MCD in F[X] non può essere 1.[/quote]
[quote="Angelo"]Quello che non capisco è perché in $F[x]$ il MCD non possa essere 1.
Giustamente tu dici che se un polinomio divide sia $f(x)$ che $g(x)$ in $F[x]$ a maggior ragione li dividerà in $E[x]$.
Però questo significa che tale polinomio dividerà il MCD calcolato in $E[x]$ e ciò prova semplicemente che il MCD in $F[x]$ è un divisore del MCD in $E[x]$, cioè è un divisore di $x-a$.
Allora, visto che gli unici divisori di $x-a$ sono due, ci sono due possibilità,
1) $MCD=1$ in $F[x]$
2) $MCD=x-a$ in $F[x]$
Perché la prima possibilità viene esclusa? E' questo quello che non capisco.
"Angelo":Se un polinomio divide sia f(x) che g(x) in F[X] a maggior ragione li dividerà in E[X]. E quindi tale polinomio sarà certamente diviso dal MCD calcolato in E[X]. Quindi se il MCD in E[X] non è 1 allora il MCD in F[X] non può essere 1.[/quote]
[quote="Martino"][quote="Angelo"]Quello che non capisco è perché in $F[x]$ il MCD non possa essere 1.
Giustamente tu dici che se un polinomio divide sia $f(x)$ che $g(x)$ in $F[x]$ a maggior ragione li dividerà in $E[x]$.
Però questo significa che tale polinomio dividerà il MCD calcolato in $E[x]$ e ciò prova semplicemente che il MCD in $F[x]$ è un divisore del MCD in $E[x]$, cioè è un divisore di $x-a$.[/quote]Hai ragione, nel precedente intervento mi sono sbagliato.
A questo punto usa davvero l'identità di Bezout: se il MCD in [tex]F[X][/tex] è [tex]d(x)[/tex] tu riesci a trovare due polinomi [tex]a(x)[/tex] e [tex]b(x)[/tex] in [tex]F[X][/tex] tali che [tex]a(x)f(x)+b(x)g(x)=d(x)[/tex], e questa uguaglianza è valida anche in [tex]E[X][/tex]. Quindi il MCD di [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex] calcolato in [tex]E[X][/tex], come ogni divisore comune, deve dividere [tex]d(x)[/tex].
Grazie Martino, con l'identità di Bezout, tutto quadra.
Però non riesco a capire perchè il libro dà come ovvio tutto questo, non accenna minimamente all'identità di Bezout, solo dice che il MCD in $E[x]$ è un divisore del MCD ottenuto in $F[x]$ (e fin quì tutto chiaro) e siccome l'unico divisore (oltre all'unità) di $x-a$ è $x-a$ stesso, allora anche in $F[x]$ il MCD coincide con $x-a$.
Mi dà la sensazione che si possa dare una spiegazione molto più immediata però non riesco a capire quale.
Però non riesco a capire perchè il libro dà come ovvio tutto questo, non accenna minimamente all'identità di Bezout, solo dice che il MCD in $E[x]$ è un divisore del MCD ottenuto in $F[x]$ (e fin quì tutto chiaro) e siccome l'unico divisore (oltre all'unità) di $x-a$ è $x-a$ stesso, allora anche in $F[x]$ il MCD coincide con $x-a$.
Mi dà la sensazione che si possa dare una spiegazione molto più immediata però non riesco a capire quale.
Penso che adesso si possa enunciare il seguente LEMMA:
Se $F$ è un campo, se $f(x)$ e $g(x) in F[x]$ e se $E$ è un'estensione del campo $F$, allora,
$MCD_(E[x]) (f(x),g(x)) = \alpha*MCD_(F[x]) (f(x),g(x))$ con $\alpha in E$ e $\alpha ne 0$
Martino, correggimi se sbaglio.
Se $F$ è un campo, se $f(x)$ e $g(x) in F[x]$ e se $E$ è un'estensione del campo $F$, allora,
$MCD_(E[x]) (f(x),g(x)) = \alpha*MCD_(F[x]) (f(x),g(x))$ con $\alpha in E$ e $\alpha ne 0$
Martino, correggimi se sbaglio.
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