Campo di spezzamento
Ho fatto questo esercizio prima, ma vorrei che qualcuno confermasse o smentisse la risoluzione perchè non ne sono convinto.
Esercizio: Si consideri $f=x^5+x^4-x^2+x-1$ in $ZZ_3[x]$.
Determinare il campo di spezzamento $E$ di $f$ su $ZZ_3[x]$ e si determini una base di $E$ come spazio vettoriale
Determinare inoltre tutte le radici di $f$ in $E$ rispetto a tale base.
Vediamo subito che $f=g*h$ ove $g=(x+1),h=(x^4-x+2)$
$h$ è irriducibile in $ZZ_3$, e consideriamo $alpha$ una radice di $h$. Sappiamo che se $f$ è un polinomio irriducibile su $ZZ_p[x]$ allora il suo campo di spezzamento è un'estensione semplice con $alpha$ una qualsiasi radice.
Quindi il campo di spezzamento $E=ZZ_3[a]=ZZ_3[x]//(h)$. Questa estensione ha grado $4$ quindi una base è $1,alpha,alpha^2,alpha^3$
Applicando inoltre l'endomorfismo di frobenious otteniamo le altre radici che sono $alpha,alpha^3,alpha^9,alpha^27$ di cui le ultime due sono ovviamente da normalizzare, essendo $deg h=4$.
E' corretto?
Esercizio: Si consideri $f=x^5+x^4-x^2+x-1$ in $ZZ_3[x]$.
Determinare il campo di spezzamento $E$ di $f$ su $ZZ_3[x]$ e si determini una base di $E$ come spazio vettoriale
Determinare inoltre tutte le radici di $f$ in $E$ rispetto a tale base.
Vediamo subito che $f=g*h$ ove $g=(x+1),h=(x^4-x+2)$
$h$ è irriducibile in $ZZ_3$, e consideriamo $alpha$ una radice di $h$. Sappiamo che se $f$ è un polinomio irriducibile su $ZZ_p[x]$ allora il suo campo di spezzamento è un'estensione semplice con $alpha$ una qualsiasi radice.
Quindi il campo di spezzamento $E=ZZ_3[a]=ZZ_3[x]//(h)$. Questa estensione ha grado $4$ quindi una base è $1,alpha,alpha^2,alpha^3$
Applicando inoltre l'endomorfismo di frobenious otteniamo le altre radici che sono $alpha,alpha^3,alpha^9,alpha^27$ di cui le ultime due sono ovviamente da normalizzare, essendo $deg h=4$.
E' corretto?
Risposte
Tutto corretto, però formalmente si scrive [tex]\mathbb{Z}_3(\alpha)=\mathbb{Z}_3[x]/_{(h)}[/tex] pur essendo [tex]\alpha[/tex] algebrico su [tex]\mathbb{Z}_3[/tex].
Che intendi per normalizzazione?
Che intendi per normalizzazione?
Ti ringrazio per aver verificato il mio esercizio...
Quanto alla precisazione cito Martino
[/quote]
Poichè $alpha^9$ ha un grado superiore a $4$, devo eserguire la divisione e considerare il resto!
Quanto alla precisazione cito Martino
"Martino":Se l'elemento è algebrico mettere le tonde o le quadre è equivalente.
[quote="mistake89"]Sì hai ragione! Ci vogliono le tonde!
[/quote]Poichè $alpha^9$ ha un grado superiore a $4$, devo eserguire la divisione e considerare il resto!
Sono matematico (molto distratto), a scanso di equivoci...
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