Ideali Somma

[mistake89]

Sappiamo che se $I,J$ sono ideali, allora l'ideale somma $I+J={a+b|a in I, b inJ }$ è un ideale.
Sappiamo inoltre che vale questa relazione $(m)+(n)=(d)$ in $ZZ$, con $d=MCD(m,n)$

Mi chiedevo allora, se siamo in $ZZ$ e se $I,J$ sono principali, possiamo concludere che $I+J=(d)$?

[Studente Anonimo]

Sì. Più in generale, vale in ogni dominio euclideo, perché puoi applicare l'algoritmo di Euclide e quindi ottenere un'identità di Bezout.

[mistake89]

L'avevo sospettato.

Grazie Martino!

[klarence1]

E se non sbaglio non serve l'ipotesi che $I$ e $J$ siano principali perchè $ZZ$ è un dominio euclideo, quindi tutti i suoi ideali sono principali.

[mistake89]

Hai ragione... e che mentre scrivevo stavo già pensando ad una ulteriore generalizzazione agli $UFD$... anche lì $MCD$ esiste, anche se non siamo in grado di calcolarlo, quindi potrebbe (sottolineo il condizionale) valere quanto scritto sopra. Ci devo pensare un pò.

[NightKnight1]

"mistake89":Hai ragione... e che mentre scrivevo stavo già pensando ad una ulteriore generalizzazione agli $UFD$... anche lì $MCD$ esiste, anche se non siamo in grado di calcolarlo, quindi potrebbe (sottolineo il condizionale) valere quanto scritto sopra. Ci devo pensare un pò.

Negli UFD è falso: ad esempio in $K[x,y]$, $(x) + (y) = (x,y) != (1)$ ma il MCD tra $x$ e $y$ è $1$.

Comunque l'asserto è vero non solo nei domini euclidei, ma anche nei PID, sebbene non esista un algoritmo per calcolare il MCD e i "coefficienti di Bezout".

Inoltre un dominio d'integrità si dice un GCD-domain o uno pseudo-Bezout se ogni coppia di elementi ammette un MCD.
Un dominio d'integrità si dice un Bezout se è un GCD-domain e il MCD di due elementi è una combinazione lineare dei due elementi.
(Kaplansky, Commutative Rings, page 32)

Quindi un UFD è un GCD-domain, ma in generale non è un Bezout.
Un PID, e quindi in particolare ogni dominio euclideo, è un Bezout.

[mistake89]

Grazie mille per la precisazione NightKnight, non conoscevo questa distinzione. Sei stato molto utile.