Esercizio Ideali
Ciao, volevo chiderevi una mano per questo esercizio:
Sia $I$ l'ideale di $Z[x]$ generato da ${4 , 2x}$. Quali sono gli elementi di $I$ ?
Ecco come ho provato a risolverlo io:
Ho detto che $ I = {f*4 + g*2x | f, g ∈ Z[x]} $. Innanzitutto ho verificato che $I$ così definito fosse un'ideale (vi tralascio le verifiche), quindi, siccome $I$ è il più piccolo ideale di $Z[x]$ contenente ${4 , 2x}$ ho provato a dimostrare la seguente cosa:
se $J$ ideale di $Z[x]$ t.c. ${4 , 2x} ⊆ $J$ allora $I$$⊆$$J$
dim. : $h ∈ I$. Assumiamo per assurdo che $h ∉ $J$ allora esistono $ f , g ∈ Z[x] $ t.c. $h = f*4+g*2x ∉ $J$, ma $f*4 ∈ $J$ perchè $J$ è un ideale e allo stesso modo $g * 2x ∈ $J$, in particolare $J$ è un anello quindi $h = f*4+g*2x ∈ $J$ : assurdo.
Che ne dite ? Grazie
Sia $I$ l'ideale di $Z[x]$ generato da ${4 , 2x}$. Quali sono gli elementi di $I$ ?
Ecco come ho provato a risolverlo io:
Ho detto che $ I = {f*4 + g*2x | f, g ∈ Z[x]} $. Innanzitutto ho verificato che $I$ così definito fosse un'ideale (vi tralascio le verifiche), quindi, siccome $I$ è il più piccolo ideale di $Z[x]$ contenente ${4 , 2x}$ ho provato a dimostrare la seguente cosa:
se $J$ ideale di $Z[x]$ t.c. ${4 , 2x} ⊆ $J$ allora $I$$⊆$$J$
dim. : $h ∈ I$. Assumiamo per assurdo che $h ∉ $J$ allora esistono $ f , g ∈ Z[x] $ t.c. $h = f*4+g*2x ∉ $J$, ma $f*4 ∈ $J$ perchè $J$ è un ideale e allo stesso modo $g * 2x ∈ $J$, in particolare $J$ è un anello quindi $h = f*4+g*2x ∈ $J$ : assurdo.
Che ne dite ? Grazie
Risposte
Correggi il codice TeX che non si capisce nulla!
Non ho capito bene cosa tu abbia provato a fare, però io per vedere quali elementi sono nel quoziente avrei fatto così:
Noto prima di tutto che $I=(4, 2x)$ non è un ideale principale, quindi quozientare i polinomi a coefficienti in $ZZ$ per $I$ è equivalente a quozientare i polinomi a coefficienti in $ZZ$/$4$ per l'ideale generato da $(2x)$. Quindi nel quoziente rimandono tutti i polinomi:
$p(x)-=1 (4)$ e $q(x)-=3 (4)$. Quindi la cardinalità dell'insieme è quella di ${0,1}^(NN)$, che è la cardinalità di $RR$.
Noto prima di tutto che $I=(4, 2x)$ non è un ideale principale, quindi quozientare i polinomi a coefficienti in $ZZ$ per $I$ è equivalente a quozientare i polinomi a coefficienti in $ZZ$/$4$ per l'ideale generato da $(2x)$. Quindi nel quoziente rimandono tutti i polinomi:
$p(x)-=1 (4)$ e $q(x)-=3 (4)$. Quindi la cardinalità dell'insieme è quella di ${0,1}^(NN)$, che è la cardinalità di $RR$.
Cosa vuol dire
COmunque cosa non è chiaro?
"UgoFoscolo90":?
$p(x)-=1 (4)$ e $q(x)-=3 (4)$
COmunque cosa non è chiaro?
Vuol dire che nel quoziente ci sono tutte le costanti e tutti i polinomi di qualsiasi grado il cui coefficiente direttore sia congruo o ad uno o a tre modulo quattro...
"UgoFoscolo90":
io per vedere quali elementi sono nel quoziente avrei fatto così
missà che non ci siamo capiti bene
...io cercavo gli elementi dell'ideale di $Z[x]$ generato da ${4,2x}$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo