Numero soluzioni di $x^2-=1(p^a)$

[ndo1]

Salve non mi è chiaro tutto della dimostrazione del seguente risultato:

Siano $p$ primo, $p!=2$ e $a>=1$ $=>$ l'equazione congruenziale $x^2-=1(p^a)$ ha 2 soluzioni non equivalenti.

La professoressa lo ha dimostrato in questo modo:
se $c$ è soluzione di $x^2-=1(p^a) => c^2-=1(p^a) => p^a|(c^2-1)=(c-1)(c+1)$
a questo punto dice che siccome $p!=2 => p^a|(c-1)$ oppure $p^a|(c+1)$

Per piacere qualcuno mi può dire come si dimostra quest'ultima implicazione? (perchè da questo possiamo poi dire che $c-=1(p^a)$ oppure $c-=-1(p^a)$ e così abbiamo trovato le due soluzioni non equivalenti).
Il fatto che $p^a$ non possa dividere contemporaneamante sia $(c+1)$ che $(c-1)$ si vede perchè se per assurdo $p^a|(c+1)$ e $p^a|(c-1)$ $=>$ $p^a$ divide la loro differenza $(c+1)-(c-1)=2$ $=> p^a|2$ il che è assurdo perchè $p!=2$ ed è primo.
Così è vero che $p^a|(c-1)$ oppure $p^a|(c+1)$, ma non si può avere anche che $p^a$ non divide ne' $(c-1)$ ne' $(c+1)$?

[Angelo210]

Se $p^a$ non dividesse né $(c+1)$ e né $(c-1)$, allora esisterebbe un intero $i$ con $1<=i<=a-1$ tale che $p^i$ divida $(c+1)$ e $p^(a-i)$ divida $(c-1)$ e quindi $p$ dividerebbe sia $(c+1)$ che $(c-1)$, da cui seguirebbe che $p$ divide anche la loro differenza che vale 2, ma ciò è assurdo perchè, come ha detto la professoressa, $p ne 2$.

[ndo1]

grazie mille Angelo