Un problemino sui polinomi
Siano $ f= x^2+3x+3 $ e $ g=x+3 $ polinomi di $ Z[x] $ Provare che gli ideali $ (f) $ e $ (g) $ sono primi ma non massimali e che $ (f)+(g) $ è massimale. Quanti elementi ha il campo $ {Z[x]]/{(f)+(g)} $ 
$ Z[x] $ è fattoriale quindi basta osservare che per Eisenstein $ f $ è irriducibile (e quindi primo), mentre $ g $ è irriducibile perchè ha grado 1. Ora devo dimostrare che $ {Z[x]}/{(f)} $ non è un campo. Osservo che tutti gli elementi di $ (f) $ hanno grado maggiore o uguale a 2 ed hanno il termine noto multiplo di 3. Quindi il laterale $ 3+(f) $ non è nullo e basta far vedere che non è invertibile. Se esiste $ h \in Z[x] $ tale che $ 3h+(f)=1+(f) $ allora $ 3h-1 \in (f) $ e quindi il termine noto del polinomio $ 3h-1 $ è multiplo di 3, assurdo. Pertanto $ {Z[x]}/{(f)} $ non è un campo e $ (f) $ non è massimale. Analoghe considerazioni per $ (g) $. Non so come far vedere che $ {Z[x]]/{(f)+(g)} $ è un campo, mi date un indizio?
$ Z[x] $ è fattoriale quindi basta osservare che per Eisenstein $ f $ è irriducibile (e quindi primo), mentre $ g $ è irriducibile perchè ha grado 1. Ora devo dimostrare che $ {Z[x]}/{(f)} $ non è un campo. Osservo che tutti gli elementi di $ (f) $ hanno grado maggiore o uguale a 2 ed hanno il termine noto multiplo di 3. Quindi il laterale $ 3+(f) $ non è nullo e basta far vedere che non è invertibile. Se esiste $ h \in Z[x] $ tale che $ 3h+(f)=1+(f) $ allora $ 3h-1 \in (f) $ e quindi il termine noto del polinomio $ 3h-1 $ è multiplo di 3, assurdo. Pertanto $ {Z[x]}/{(f)} $ non è un campo e $ (f) $ non è massimale. Analoghe considerazioni per $ (g) $. Non so come far vedere che $ {Z[x]]/{(f)+(g)} $ è un campo, mi date un indizio?
Risposte
Indizio: [tex]f-xg = 3[/tex].
Ah ho capito questo è un campo con 3 elementi 
Sia $ p = a_0+...+a_nx^n $
Se $ a_0 = 0 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = ((f)+(g)) $
Se $ a_0 = 1 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = 1+((f)+(g)) $
Se $ a_0 = 2 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = 2+((f)+(g)) $
Siccome $ (3k+1)^2 = 3(3k^2+2k)+1 $ e $ (3k+2)^2=3(3k^2+4k+1)+1 $ ogni elementi non nullo coincide con il suo inverso. Giusto?
Sia $ p = a_0+...+a_nx^n $Se $ a_0 = 0 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = ((f)+(g)) $
Se $ a_0 = 1 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = 1+((f)+(g)) $
Se $ a_0 = 2 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = 2+((f)+(g)) $
Siccome $ (3k+1)^2 = 3(3k^2+2k)+1 $ e $ (3k+2)^2=3(3k^2+4k+1)+1 $ ogni elementi non nullo coincide con il suo inverso. Giusto?
"perplesso":
Ah ho capito questo è un campo con 3 elementi
Se $ a_0 = 0 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = ((f)+(g)) $
Se $ a_0 = 1 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = 1+((f)+(g)) $
Se $ a_0 = 2 $ (mod 3) allora $ p+((f)+(g)) = 2+((f)+(g)) $
Anzi no mi rimangio tutto, questa affermazione non è ben motivata...
No, non intendevo questo.
Da quello che ti ho scritto segue che [tex](f)+(g)[/tex] contiene [tex](g)+(3) = (x)+(3)[/tex]... che è massimale.
Da quello che ti ho scritto segue che [tex](f)+(g)[/tex] contiene [tex](g)+(3) = (x)+(3)[/tex]... che è massimale.
Ah ecco... senti ma il fatto che $ (x)+(3) $ è massimale poi lo devo dimostrare oppure è una cosa scontata ? (no perchè a me questa cosa non appare evidente, c'è qualche cosa che non so? )
Il motivo è questo: [tex]\mathbb{Z}[X]/(X,3) \cong \mathbb{Z}_3[X]/(X) \cong \mathbb{Z}_3[/tex].
Lascio a te il compito di dare un senso a quello che ho scritto (è istruttivo!)
Lascio a te il compito di dare un senso a quello che ho scritto (è istruttivo!)
Grazie mille ora ci penso. 
Sia $ p $ un numero primo e consideriamo i seguenti epimorfismi
$ \phi : a_0 +...+a_nx^n \in Z[x] \rightarrow \bar a_0 + ... + \bar a_n x^n \in Z_p[x] $
$ \delta : \bar a_0 + ... + \bar a_n x^n \in Z_p[x] \rightarrow \bar a_0 \in Z_p $
$ \phi \delta : Z[x] \rightarrow Z_p $
Quindi notiamo che $ ker ( \delta ) = (x) $ e $ ker (\phi \delta)= (x,p) $ . Segue dal teorema di omomorfismo
$ {Z[x]}/{ker (\phi \delta)} \cong Z_p \cong {Z_p[x]}/{ker (\delta)} $
E concludo notando che $ Z_p $ è un campo. Era questa l'idea?
$ \phi : a_0 +...+a_nx^n \in Z[x] \rightarrow \bar a_0 + ... + \bar a_n x^n \in Z_p[x] $
$ \delta : \bar a_0 + ... + \bar a_n x^n \in Z_p[x] \rightarrow \bar a_0 \in Z_p $
$ \phi \delta : Z[x] \rightarrow Z_p $
Quindi notiamo che $ ker ( \delta ) = (x) $ e $ ker (\phi \delta)= (x,p) $ . Segue dal teorema di omomorfismo
$ {Z[x]}/{ker (\phi \delta)} \cong Z_p \cong {Z_p[x]}/{ker (\delta)} $
E concludo notando che $ Z_p $ è un campo. Era questa l'idea?
Ti ringrazio, questa cosa che mi hai segnalato risolve definitivamente il problema della ricerca degli ideali primi di Z[x] però c'è qualche cosa che non mi è chiara
Leggendo la dimostrazione non ho capito quali sono i passaggi da cui si evince che il primo tipo non è massimale e il secondo si. Oppure per il secondo bisogna far vedere che $ (p,x) \subset (p,f(x)) $ ? E poi non ho capito perchè $ f(x) $ è irriducibile modulo $ p $ ? (per caso il motivo è che l'ideale $ (g(x)) $ è primo e $ Z_p[x] $ è principale ? sono un pò confuso )
Segue che gli ideali primi non nulli di Z[X] sono di due tipi:
- ideali principali generati da un polinomio irriducibile, includendo gli ideali del tipo $ pZ[X] $ con p numero primo (si tratta di ideali primi non massimali);
- del tipo $ (p,f(x)) $ con $ p $ numero primo e $ f(x) $ irriducibile modulo $ p $ (si tratta di ideali massimali).
Leggendo la dimostrazione non ho capito quali sono i passaggi da cui si evince che il primo tipo non è massimale e il secondo si. Oppure per il secondo bisogna far vedere che $ (p,x) \subset (p,f(x)) $ ? E poi non ho capito perchè $ f(x) $ è irriducibile modulo $ p $ ? (per caso il motivo è che l'ideale $ (g(x)) $ è primo e $ Z_p[x] $ è principale ? sono un pò confuso
)
[Primo tipo]. L'idea di buttare [tex](f(X))[/tex] dentro un ideale massimale del tipo [tex](p,f(X))[/tex] non funziona, cf. qui (l'ho creato or ora, prendendo spunto da questo filone ).
[Secondo tipo]. Se [tex](p,f(X))[/tex] è massimale allora [tex]f(X)[/tex] dev'essere irriducibile modulo [tex]p[/tex], perché in generale se [tex]K[/tex] è un campo (nel tuo caso [tex]K=\mathbb{Z}_p[/tex]) allora un ideale di [tex]K[X][/tex] è massimale se e solo se è generato da un polinomio irriducibile.
).[Secondo tipo]. Se [tex](p,f(X))[/tex] è massimale allora [tex]f(X)[/tex] dev'essere irriducibile modulo [tex]p[/tex], perché in generale se [tex]K[/tex] è un campo (nel tuo caso [tex]K=\mathbb{Z}_p[/tex]) allora un ideale di [tex]K[X][/tex] è massimale se e solo se è generato da un polinomio irriducibile.
Grazie mille, mi divertirò a leggere le risposte al problema che hai posto. 
"perplesso":Questo dovrebbe andare (terzo capoverso).
Leggendo la dimostrazione non ho capito quali sono i passaggi da cui si evince che il primo tipo non è massimale
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