Proprietà tra gruppo quoziente e gruppo simmetrico

[Gi81]

Nella dimostrazione di un certo teorema di teoria dei gurppi ad un certo punto ci sono i seguenti passaggi:

Sia $G$ gruppo, $A$ sottogruppo di $G$ di indice $n$ non normale.
Sia $X$ il sottogruppo massimale di $A$ che è normale in $G$. Allora il gruppo quoziente \(G/X \) è isomorfo a un sottogruppo del gruppo simmetrico sui laterali destri di $A$, cioè ad un sottogruppo di $S_n$.

Non riesco proprio a capire perchè valga questa cosa. Forse è una conseguenza del teorema di Cayley?
Io avrei detto questo:

[*:1d5r4hlm]$|A|= c *|X|$, con $c in NN$ (dato che $X$ è sottogruppo di $A$)[/*:m:1d5r4hlm]
[*:1d5r4hlm] $i_X = c* i_A = c *n$ (con $i_B$ indico l'indice del sottogruppo $B$)[/*:m:1d5r4hlm]
[*:1d5r4hlm] \(G/X\) è isomorfo a un sottogruppo di $S_(c*n)$[/*:m:1d5r4hlm][/list:u:1d5r4hlm]

[Studente Anonimo]

In generale se un gruppo [tex]G[/tex] agisce su un insieme [tex]X[/tex] con nucleo [tex]N[/tex] allora c'è un omomorfismo iniettivo naturale [tex]G/N \to \text{Sym}(X)[/tex]: è quello che deduci da quello di cui parlo qui (costruzione 1) andando a quoziente sul nucleo.

[Gi81]

Ciao Martino, grazie mille per la risposta. E' tutto chiaro.
Ho anche dato un'occhiata qui (esempio 3).