Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

In una proposizione , sulla riduzione modulo p, che diede il professore all'epoca recita cosi : Prop : Sia $f_n : ZZ[x] -> ZZ_n[X] $ un'applicazione definita ponendo $f_n(\sum_{n=0}^k\a_ix^i)=(\sum_{n=0}^k\[a_i]_nx^i)$ è un omomorfismo di anelli surgettivo. Volendola dimostrare, la verifica che f è un omomorfismo è abbastanza immediata. Ma ciò che mi crea un po di dubbio è la parte riguardante l'ingettività e la surgettività. Per la caratterizzazione dei monomorfismi di anelli ho che f è ingettiva se e solo se Kerf è il sottoanello ...

In un altro tema d'esame mi sono imbattuto in quest'altro esercizio. Dire se il polinomio $f(x)=2x^5-180x^4+2*31^31x^3+1086542x^2+2*101^100*47^48x+34 \in ZZ[x]$ è irriducibile in $q(X)$. Ho notato che tale polinomio ammette fattorizzazione in $ZZ(X)$ mettendo in evidenza il 2. Ma oltre questo, il Criterio di Einstein non mi sembra impraticabile, per il criterio dell'esistenza delle radici mi sembra impraticabile anche quello dato i coefficienti del polinomio... l'unica soluzione sarebbe la riduzione modulo p primo.. ho ...

Buona sera a tutti, da poco ho cominciato a studiare un po' di algebra astratta sull'Herstein e mi sono bloccato su un esercizio: Ho provato subito a fare un caso particolare, ho definito un gruppo abeliano G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e il prodotto con la seguente tabella: Poi ho posto i due sottogruppi H = {1, 2} e G = {1, 2, 3}. Ora gli ordini dei due sottogruppi sono 2 e 3, e secondo tesi da dimostrare dovrebbe esistere un sottogruppo L di ordine mcm(2, 3) = 6. Ma se L = {1, 2, 3, 4, 5, ...

E' vero che se un gruppo $G$ ha ordine $p^n$ ogni suo sottogruppo di ordine $p^(n-1)$ è normale? Non riesco a dimostrarlo, nè a trovare controesempi...

Vi chiedo di aiutarmi a risolvere il seguente quesito: A cosa è congruo 8^101 in modulo 101? Vi ringrazio in anticipo

Salve a tutti, espongo il mio dubbio. In geometria algebrica, dato un certo $V\subseteq\mathbb {A^n}_k$ si pone $I(V)=\{f\in k[X_1,\ldots,X_n] : f(P)=0\,\forall P\in V\}$ Ovvero $I(V)$ e' l'ideale formato da tutti i polinomi che si annullano su $V$. Ora sia i libri e sia il prof. affermano che $I(\emptyset)=k[X_1,\ldots,X_n]$ ma cio' non mi torna. Perche' tutti i polinomi dovrebbero annullarsi sull'insieme vuoto? E poi che senso ha valutare un polinomio "su nessun punto"? grazie in anticipo per la risposta.

Salve a tutti, vi scrivo per chiedere una delucidazione. In un testo di esame mi sono imbattuto nel seguente esercizio : Dire se il polinomio $x^4+x^3+2$ in $ZZ_3$ e' irriducibile. so che per provare che tale polinomio è irriducibile in $ZZ_3$ posso provare se esso a radici e a tal fine posso utilizzare il piccolo teorema di fermat, poiché 3 è primo. E se non ha radici, verifico se è riducibile sfruttando il principio di identità dei polinomi scrivendolo nella ...

Non ho ben chiaro come trovare le radici di un polinomio nel campo dei complessi. Ho studiato la teoria, ma ho alcune difficoltà con gli esercizi. Posto un esercizio sperando che vi faciliti nel darmi alcune linee guida per la soluzione. $ X^4 - ( 1+ 4*i )* X^3 + (-6+3*i)*X^2 + ( 3+4*i )*X + ( 1-i ) $ Grazie mille

Ciao, mi potreste correggere la seguente dimostrazione di equivalenza? la relazione è la seguente: $R = {(x,y) in ZZ t.c. EE h in ZZ, | 5x+y = 6h } $ nell'insieme degli interi. parto con la mia dimostrazione: Per dimostrare la relazione di equivalenza devo dimostrare la sua Riflessività, Simmetria e Transitività, premetto che posso scrivere 5x+y = 6h anche come 6|(5x+y). Rilfessività: $AA x in ZZ , (x,x) in R$ Quindi: 6|(5x + x) => 6|6x (ed è una relazione valida) Simmetria: $AA x,y in ZZ, (x,y) in R => (y,x) in R$ E la dimostro in questo modo (non ...

Nelle derivazioni eseguite con l'ausilio del teorema di deduzione con che criterio si scelgono le premesse? Esempio: $(A\rightarrow(A\rightarrow B))\rightarrow(A \rightarrow B)$ \[ \begin{split} 1 & &A,A\rightarrow (A \rightarrow B) & \vdash & A & \text{Ass.}\\ 2 & & & \vdash & A \rightarrow (A \rightarrow B) & \text{Ass.}\\ 3 & & & \vdash & A \rightarrow B & \text{MP:}1,2\\ 4 & & ...

Salve a tutti, ho la seguente proposizione logica: $(A ^^ B) -> C$ mi domandavo che connettivo dovrei mettere tra $A$ e $B$, affinchè sia equiveridica, se la scrivo nel modo seguente: $C harr (A ? B)$ Ovviamente sempre se è possibile.. Ringrazio anticipatamente. Cordiali saluti

Salve a tutti, non sono molto esperto nell'argomento, perciò mi chiedevo, è possibile geneare un numero che sia per esempio r mod a, s mod b, t mod c partendo solo da questi dati? Cioè, forze con un esempio è più chiaro: Trovare un numero che sia: 1 mod 2 2 mod 3 3 mod 5 è evidente che ci siano numeri infiniti che soddisfano queste ipotesi, ma è possibile trovarne uno con dei calcoli? Grazie

Ciao, stavo vedendo il seguente esercizio svolto e mi è venuto un dubbio: Sia $ I $ l'ideale generato da $ i-1 $ nell'anello degli interi di Gauss $ ZZ<em> $. Provare che $ (ZZ<em>)/I $ è isomorfo a $ ZZ_2$ (quindi $ I $ è ideale massimale). IL mio problema è: perchè possiamo dedurre così immediatamente che se esiste tale isomorfismo $ I $ è ideale massimale?

Premetto che sono un poco arrugginito su questi argomenti ma, riguardando i miei vecchi testi ed appunti, non sono risucito a trovare una risposta definitiva alla seguente questione. Considero l'anello [tex](\{f:\mathbb R \to \mathbb R\},+,*)[/tex] dove le operazioni sono definite come operazioni puntuali ovvero [tex](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/tex] e [tex](f*g)(x)=f(x)*g(x)[/tex] [tex]\forall x\in\mathbb R[/tex]. Voglio sapere chi è il sottoanello di generato dalla funzione identica. Mi pare che gli ...

Come posso dimostrare che la classe degli insiemi equinumerosi a un certo insieme non vuoto non è un insieme? ed inoltre come posso svolgere questo esercizio(sempre dimostrazione): Se f è una biiettività da A su A' e g una biiettività da B su B', allo­ra la funzione h = {((a,b),(f(a),g(b))): (a,b)$in$AxB} è una biiettività da AxB su A'xB'

Ciao ragazzi, a Giugno dovrò dare l'esame di matematica discreta, e data la mia carenza in questa materia ho deciso di studiare già da ora. Ho iniziato con il primo argomento del programma, cioè le Relazioni. Nel libro che utilizzo non spendono due parole di più, citano solo le proprietà delle relazioni e non come dimostrarle. Di fatto, ho difficoltà a svolgere esercizi banali come questo: Sia A={1,2,3,4,5,6} e siano \(\displaystyle \rho \space e \space \sigma \) le relazioni in A date ...

Sia $G$ un gruppo (non necessariamente finito) e siano $a,b\inG$ tali che $o(a)=5$ e $aba^{-1}=b^2$. Determinare $o(b)$. Fino ad ora sono riuscito a dimostrare che se $o(b)$ è finito, allora è dispari e che $o(ab)=5$... Sono utili in qualche modo? Chi mi dà una mano?

1) Determinare una Q-base dell'estensione $ Q(\sqrt 2, \sqrt 3) $ e mostrare che $ Q(\sqrt 2, \sqrt 3)=Q( \sqrt 2 + \sqrt 3 ) $ Allora.. una Q-base di $ Q( \sqrt 2 )$ è $ {1,\sqrt 2} $ mentre una $ Q( \sqrt 2) $-base di $ Q(\sqrt 2, \sqrt 3) $ è $ {1, \sqrt 3} $ quindi la Q-base cercata è $ {1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6} $. è chiaro che $ Q( \sqrt 2 + \sqrt 3 ) \subseteq Q( \sqrt 2,\sqrt 3 ) $. Per mostrare che vale anche l'altra inclusione ho pensato di far vedere che il generico elemento di $ Q( \sqrt 2,\sqrt 3 ) $ (che è una combinazione lineare di $ {1, \sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 6} $) si può ...

Ho da 24h chiuso la mia avventura nella Meccanica Razionale e ho ripreso "finalmente" l'algebra in mano e devo dire che è nonostante sia bellissima, è sempre dura ricominciare. Quindi vi posto il mio primo problema, che purtroppo non sono riuscito a trovare la soluzione, anche se per il libro sembra un passaggio banale. Dopo aver introdotto la nozione di sottogruppo normale massimale, gli autori fanno questa osservazione: Si osservi che le nozioni di sottogruppo normale massimale e ...

Ciao!! Mi sono appena iscritta xk sono in panico xD Devo fare l'esame di Algebra I e alcuni esercizi proprio non riesco a capirli Uno di questi è quando mi chiedono di trovare l'MCD monico tra due polinomi. Io so fare bene le divisioni per quanto riguarda i diversi campi ( Q, Z5 e via dicendo... ) e se mi esce monico ok, benissimo. Ma quando il coefficiente direttivo non è 1 vado in crisi Non so proprio che metodo applicare per farlo uscire monico, avrò guardato mille volte gli esercizi che ...