Dimostrazione proprietà degli insiemi

[Sally_11]

Ciao a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi nella dimostrazione di questa proprietà?

\(\displaystyle A⊆B ⇔ A∪B = B \)

Ho tentato di dimostrare prima l'implicazione ⇒ e poi ⇐ ma arrivo ad un vicolo cieco -.-

[Sally_11]

uppo la discussione!

[Gi81]

Partiamo da $=>$
Hai come ipotesi $A sube B$ e devi dimostrare che $A uu B =B$.
Ma cosa significa, in formule, che $A sube B$?

[Sally_11]

Dunque, io avrei pensato a due modi per esplicitare \(\displaystyle A⊆ B \):

- il primo è considerare che \(\displaystyle A⊆ B ⇒ A ∩ B = A\)
- il secondo è utilizzare proprio i connettivi, e cioè \(\displaystyle A⊆ B ⇒ (a∈A ⇒ a∈B) \)

a questo punto mi blocco...

[Gi81]

Usiamo il secondo: $AA a , (a in A => a in B)$

Se prendiamo un generico $x in A uu B$, si ha che (per definizione) $x in A vv a in B$
Ma sia che $x$ stia in $A$ sia che $x$ stia in $B$ abbiamo che $x in B$

Dunque $AA x, (x in A uu B => x in B)$

[Sally_11]

Perfetto, quindi devo essere io a "proporre" il concetto di unione!

E per quanto riguarda l'implicazione \(\displaystyle ⇐ \),
\(\displaystyle A∪B=B ⇒ (x∈A ∨ x∈B) ⇔ x∈B\)
quindi \(\displaystyle ∀x∈A, x∈B \)

il procedimento è corretto in questo caso?

[Gi81]

Credo che volevi dire giusto, ma hai scritto sbagliato:

"Sally_":\(\displaystyle A∪B=B ⇒ (x∈A ∨ x∈B) ⇔ x∈B\)

Dovevi scrivere: dato che $A uu B = B$, allora $AA x ,[ (x in A vv x in B) => x in B]$
Quindi, in particolare $AA x, (x in A => x in B)$

[Sally_11]

Grazie mille!! =)