Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao a tutti . Vi espongo un problema sulla teoria di Galois in cui mi sono imbattuta. Sia $\F$ il campo di riducibilità completa del polinomio $\f=x^4-2$ su $\mathbb{Q}$. (a)Si verifichi che $\F=\mathbb{Q}(i,root(4)(2))$ e si determini $\[F:\mathbb{Q}]$ (b)Si dimostri: $\Gal(F\\mathbb{Q}(root(4)(2)))\cong\mathbb{Z}\\mathbb{2Z}$ e che $\Gal(F\\mathbb{Q}(i))\cong\mathbb{Z}\\mathbb{4Z}$ (c)Si decida se $\Gal(F\\mathbb{Q})$ è abeliano I punti (a) e (b) sono semplici e si verifica che $\[F:\mathbb{Q}]=8$. Invece il punto (c) mi provoca qualche perplessità. So ...

Buongiorno a tutti. Sto cercando di scoprire il significato del simbolo "\(\displaystyle \ldotp \)" in questa formula: \(\displaystyle (x_2(0) \wedge \forall x_1 \ldotp x_2 (x_1) \rightarrow x_2 (succ(x_1))) \rightarrow \forall x_1 \ldotp x_2 (x_1) \) Credo sia un simbolo molto "facile", ma tutti gli elenchi dei connettivi logici che ho consultato non lo contengono. Per contestualizzare: quello che ho riportato è uno degli assiomi di Peano (modificato da Gödel e poi da un certo Martin ...

Ciao a tutti, mi potete aiutare con questo esercizio. Dato l'insieme F delle funzioni parziali dai naturali {0,1,2,3,4,5} all'ordinamento parziale dei booleani{false,true} con false $<=$ true, devo definire una relazione d'ordine non banale $<=_F$ tale che (F, $<=_F$) sia un reticolo completo. Grazie

Salve a tutti, espongo il mio dubbio. Sia $K$ un campo algebricamente chiuso di cardinalita' infinita. Ogni polinomio $f\in K[x]$ ha almeno una radice in $K$. Se $g\in K[x_1,x_2,\ldots, x_n]$ e' un polinomio in piu' variabili allora e' vero che $g$ contiene infinite soluzioni in $K^n$? A me era venuto in mente di ragionare cosi': Per ogni $(\alpha_2,\ldots,\alpha_n)\in K^{n-1}$ il polinomio $g(x,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ in una variabile ha una soluzione $\alpha_1$ in ...

A breve avrò l'esame orale di logica matematica ma ho molta difficoltà a capire alcune cose dell'algebra di Boole Alle superiori sono stato "cresciuto" con l'idea che l'algebra di Boole fosse quella costituita da 0, 1, AND, OR, NOT, ora invece leggendo sul libro è presentata come la conversione delle operazioni tra insieme in operazioni numeriche e quella che io ho sempre ritenuto algebra booleana è vista come "un tipo di algebra di Boole"... Probabilmente il mio messaggio sembrerà un po' ...

Salve a tutti. Un problema di teoria di Galois mi chiede di calcolare il gruppo di galois su $\mathbb Q$ del polinomio $x^7-1$. Siccome si tratta di trovare il gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica su $\mathbb Q$, ponendo $\omega=e^{\frac{2\pi i}{7}}$ in questo caso si ha chiaramente che $Gal \mathbb Q(omega)$/$\mathbb Q$ $\cong (\mathbb Z_7)$* $cong C_6$. Se io ora volessi trovare i campi intermedi di tale estensione, devo considerare i sottogruppi di ...

Avendo la seguente formula: $not(A(x)->B(x))^^AAyB(y)$ devo vedere se è soddisfacibile,il problema è che non sò come trattare i quantificatori $AA$ e $EE$,qualcuno mi potrebbe dire quali regole devo utilizzare?

- Determinare i sottogruppi e i generatori del gruppo delle radici cinquantacinquesime dell'unità. Io l'ho sempre svolto calcolando, per quanto riguarda i generatori, i numeri minori di 55(in questo caso), coprimi con quest'ultimo. Quindi i sottogruppi sarebbero stati 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16....e così via.... mentre per i generatori quelli che hanno almeno un divisore in comune. Ma è corretto? :-S Inoltre per il seguente esercizio: - Stabilire, motivando la risposta, se il ...

Ciao a tutti!! non riesco proprio a trovare una risposta a questo quesito (anche se dovrebbe essere banale) : dimostrare che in un gruppo gli ordini di $a*b$ e $b*a$ sono uguali. se il gruppo è commutativo ciò è ovviamente vero, ma se non lo è come faccio a dimostrarlo? il fatto che G sia un gruppo mi dice che vale la proprietà associativa, che esiste l'elemento neutro e che ogni elemento ha un inverso, ma come può ciò essermi utile??

Salve, come da oggetto, cerco esercizi del tipo: $299x \equiv 52 (247)$ Grazie

Salve, per favore mi aiutate a capire come si svolgono esercizi del genere? Questo che segue è un esempio di traccia: Si consideri la relazione R sull'insieme Z dei numeri interi relativi definita, per ogni \(x, y \in Z\), da \(xRy\) se e solo se esiste \(k \in Z\) tale che \(x = y + 9k\) Dimostrare che R è una relazione d'equivalenza. Determinare i) \([0]_R = \) ii) \([1]_R = \) iii) \([10]_R = \) iv) \([81]_R = \) Stabilire, infine, se è compatibile con l'addizione e con la ...

Salve, come potrei dimostrare la seconda parte di questo esercizio? "Dato $a in Z$, non divisibile per $n$, dimostrare che : $[a]_n$ è invertibile in $Z_n $ se e solo se $a$ a è un elemento regolare di $Z_n$". Sono riuscita a dimostrare che se $[a]_n$ è invertibile allora è regolare, ma mi serve qualche idea per l'implicazione inversa! Grazie in anticipo!

Salve a tutti, ho riscontrato delle difficoltà nel dimostrare il seguente esercizio : Provare che $AA$n$>=$0 $\sum_{k=1}^n(6k-1)=3n^2$+8n+5 Premetto con il fatto che l'estremo superiore è n+1 ma non so perchè sul forum non compare. Ho cominciato con il passo base e fin qui ci siamo dato che per n=0 e per k=1 l'uguaglianza è vera infatti sostituendo: $\sum_{k=1}^n(6*(1)-1)=5 ed invece 3*(0)^2+8*(0)+5 =5. Adesso se continuo con il passo induttivo alla fine i risultati ...

Sia $k$ un campo e $k'$ un'estensione finita e separabile di $k$. Allora $k'$ è contenuto in un'estensione ciclotomica di $k$? La risposta è si se $k$ è un campo finito, quindi la domanda riguarda sopratutto il caso in cui $k$ sia infinito. La domanda mi è sorta leggendo il Corollario 7.51 di J.Milne dal quale sembrerebbe che ogni estensione finita e separabile di $k$ è ...

Salve a tutti, espongo il mio dubbio: in tutti i libri di teoria analitica dei numeri che ho visto, una funzione aritmetica viene definita come una funzione $f:\mathbb Z^{+}\rightarrow\mathbb C$; nel seguito, si definisce un'operazione di convoluzione tra due funzioni aritmetiche e dunque si arriva alla famosa formula di inversione di Moebius. Fino a qui sembrerebbe tutto chiaro ma ad un certo punto si parla di una formula di inversione di Moebius scritta in forma moltiplicativa che in seguito viene utilizzata ...

Salve a tutti, è la prima volta che posto su questo forum, quindi spero mi perdoniate la domanda stupidissima che sto per porvi.. Vorrei sapere in che modo svolgere la seguente dimostrazione sul Massimo Comune Divisore... Dati due interi a e b non entrambi nulli. Un intero d che verifica queste due condizioni: 1) d|a , d|b 2) Vd'€Z (d'|a , d'|b ----> d'|d) è per definizione un massimo comune divisore tra a e b. PROPRIETA': Se d è un massimo comune divisore tra a e b allora l'unico altro ...

Qualcuno può darmi un'idea su come dimostrare questo esercizio? "Dati due anelli $(A_1,+,.) (A_2,+,.)$ entrambi unitari e dato $psi:A_1->A_2$ isomorfismo, dimostrare che $psi(U(A_1))=U(A_2)$ e che $psi$ induce per restrizione un isomorfismo di gruppi $psi':U(A_1)->U(A_2)$.(con $U(A_1),U(A_2)$ gruppi delle unità rispettivamente di $A_1$ e $A_2$) Grazie !

Trovare per quali valori di \(\displaystyle p \) primo la frazione \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} \) è un quadrato perfetto. Quello che ho fatto è semplicemente: \(\displaystyle 2^{p-1}-1\equiv 0 \pmod{p} \) è sempre verificato per fermat, quindi \(\displaystyle p|2^{p-1}-1 \). Il risultato della divisione deve essere necessariamente dispari, quindi il quadrato perfetto dovrà essere \(\displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p}\equiv 1 \pmod{4} \). Siccome \(\displaystyle MCD(p,4)=1 \) si ha che ...

Salve a tutti, ho un problema con una dimostrazione di un esercizio: \(\sum_{k=0}^n\)\([(2k+1)^2 - (2k)^2] = (n+1)(2n+1)\) Ho semplificato entrambi i membri dell'equazione ottenendo: \((4k+1) = (2n^2+3n+1)\) Poi ho fatto la prova per \(n=0\) e avendomi dato una corrispondenza \(1=1\) allora ho provato la validità per \(n=k+1\), sostituendolo al secondo membro dell'equazione che ho trovato e dopo una serie di passaggi ho ottenuto:\(2k^2+7k+5\) provando che non è valido per \(k+1\). Credo che ...

Come posso dimostrare che : $ not EEx AAy(\ Q(x,y)\ iff\ notQ(y,y)\ ) $ ho provato sia eliminando il not davanti all'esistenziale e poi ancora davanti all'universale ma non sono riuscito a venirne a capo.... forse essendo che i quantificatori sono legati ad entrambe le occorrenze di Q ce qualche problema (per me almeno ) qualcuno saprebbe darmi un aiuto?