Teorema di transitività della traccia
Ciao a tutti,
ho qualche difficoltà nel comprendere la dimostrazione di questo teorema:
TEOREMA: Siano \(\displaystyle K \) un campo finito, \(\displaystyle F \) un'estensione di \(\displaystyle K \) e \(\displaystyle E \) un'estensione di \(\displaystyle F \). Allora
\(\displaystyle Tr_{E/K} (\alpha) = Tr_{F/K}(Tr_{E/F} (\alpha))\)
DIMOSTRAZIONE: Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) , \(\displaystyle [F] = m \) e \(\displaystyle [E] = n \) . Di conseguenza, per la formula di moltiplicatività del grado si ha \(\displaystyle [E] = mn \).
Allora per \(\displaystyle \alpha \in E \) si ha:
\(\displaystyle Tr_{F/K}(Tr_{E/F} (\alpha)) = \sum_{i=0}^{m-1} (Tr_{E/F} (\alpha))^{q^i} = \sum_{i=0}^{m-1}(\sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^{jm}})^{q^i} = \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^{jm + 1}} = \sum_{k=0}^{mn-1} \alpha^{q^k} = Tr_{E/K} (\alpha) \)
DOMANDE:
1. Perchè \(\displaystyle Tr_{E/F} (\alpha) = \sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^{jm}} \) ? Io avrei detto semplicemente \(\displaystyle Tr_{E/F} (\alpha) = \sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^j} \)
2. Come posso vedere che questa uguaglianza è vera: \(\displaystyle \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^{jm + 1}} = \sum_{k=0}^{mn-1} \alpha^{q^k} \) ?
Grazie mille!!!
ho qualche difficoltà nel comprendere la dimostrazione di questo teorema:
TEOREMA: Siano \(\displaystyle K \) un campo finito, \(\displaystyle F \) un'estensione di \(\displaystyle K \) e \(\displaystyle E \) un'estensione di \(\displaystyle F \). Allora
\(\displaystyle Tr_{E/K} (\alpha) = Tr_{F/K}(Tr_{E/F} (\alpha))\)
DIMOSTRAZIONE: Siano \(\displaystyle K = \mathbb{F}_{q} \) , \(\displaystyle [F] = m \) e \(\displaystyle [E] = n \) . Di conseguenza, per la formula di moltiplicatività del grado si ha \(\displaystyle [E] = mn \).
Allora per \(\displaystyle \alpha \in E \) si ha:
\(\displaystyle Tr_{F/K}(Tr_{E/F} (\alpha)) = \sum_{i=0}^{m-1} (Tr_{E/F} (\alpha))^{q^i} = \sum_{i=0}^{m-1}(\sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^{jm}})^{q^i} = \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^{jm + 1}} = \sum_{k=0}^{mn-1} \alpha^{q^k} = Tr_{E/K} (\alpha) \)
DOMANDE:
1. Perchè \(\displaystyle Tr_{E/F} (\alpha) = \sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^{jm}} \) ? Io avrei detto semplicemente \(\displaystyle Tr_{E/F} (\alpha) = \sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^j} \)
2. Come posso vedere che questa uguaglianza è vera: \(\displaystyle \sum_{i=0}^{m-1} \sum_{j=0}^{n-1} \alpha^{q^{jm + 1}} = \sum_{k=0}^{mn-1} \alpha^{q^k} \) ?
Grazie mille!!!
Risposte
Più che una soluzione è un'idea: essendo i dati campi a caratteristica \(p\) di modo che \(q=p^e\), puoi utilizzare la nota proprietà che \(\forall a;b\in\mathbb{F}_q,\,(a+b)^q=a^q+b^q\)... oppure sbaglio?
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