Insiemi: perchè gli elementi devono essere distinti?
Buongiorno a tutti,
quando si definisce la nozione di INSIEME in senso matematico di solito si dicono 2 cose:
1) Deve essere definito un CRITERIO OGGETTIVO per selezionare gli elementi che appartengono all'insieme (a volte questo criterio oggettivo viene definito "proprietà caratteristica";
2) Gli elementi che appartengono all'insieme devono essere DISTINTI.
Il motivo della 1) è semplice: se il criterio non è oggettivo o non riesco a costruire l'insieme, o persone diverse costruirebbero insiemi diversi, (o entrambe le cose).
Non capisco però il motivo della 2). Che problemi sorgono se gli elementi non sono distinti?
Grazie
quando si definisce la nozione di INSIEME in senso matematico di solito si dicono 2 cose:
1) Deve essere definito un CRITERIO OGGETTIVO per selezionare gli elementi che appartengono all'insieme (a volte questo criterio oggettivo viene definito "proprietà caratteristica";
2) Gli elementi che appartengono all'insieme devono essere DISTINTI.
Il motivo della 1) è semplice: se il criterio non è oggettivo o non riesco a costruire l'insieme, o persone diverse costruirebbero insiemi diversi, (o entrambe le cose).
Non capisco però il motivo della 2). Che problemi sorgono se gli elementi non sono distinti?
Grazie
Risposte
Credo che qualche ottimo volume su teoria degli insiemi o teoria assiomatica degli insiemi ti aiuterà.
Comunque possiamo dire che per definizione un insieme è una collezione di elementi distinti fra loro, infatti un insieme composto da un unico elemento è possibile vederlo come un insieme tale che ogni altro elemento è uguale a quell'unico elemento (e quindi non viene ripetuto ed è un insieme di un unico elemento).
Comunque possiamo dire che per definizione un insieme è una collezione di elementi distinti fra loro, infatti un insieme composto da un unico elemento è possibile vederlo come un insieme tale che ogni altro elemento è uguale a quell'unico elemento (e quindi non viene ripetuto ed è un insieme di un unico elemento).
Ciò che scrivi è certamente vero, ma è una conseguenza della definizione, che non capisco 
Grazie comunque.
Grazie comunque.
E' conseguenza di un assioma di ZF che si chiama assioma di estensionalità.
Per quanto mi riguarda è del tutto accettabile: due cose non possono essere uguali, se sono due. Se due cose sono uguali allora non sono due, ma una stessa cosa. Quindi se voglio mettere in un insieme due entità indistinguibili (ma comunque non uguali!) le posso (e anzi le devo) distinguere io chiamandole con nomi diversi ("colorandole"). Comunque se proprio non ti piace puoi usare i multiinsiemi, che sono però molto meno "primitivi" degli insiemi.
Per quanto mi riguarda è del tutto accettabile: due cose non possono essere uguali, se sono due. Se due cose sono uguali allora non sono due, ma una stessa cosa. Quindi se voglio mettere in un insieme due entità indistinguibili (ma comunque non uguali!) le posso (e anzi le devo) distinguere io chiamandole con nomi diversi ("colorandole"). Comunque se proprio non ti piace puoi usare i multiinsiemi, che sono però molto meno "primitivi" degli insiemi.
Grazie mille Martino, la teoria dei multiset (che non conoscevo) mi ha fatto capire che esiste la possibilità di insiemi con elementi non distinti.
Quando sono ammessi duplicati tra gli elementi, si complicano le operazioni (unione, intersezione, ecc), e probabilmente anche altri aspetti della teoria. Forse per questi motivi, si preferisce in genere la teoria classica degli insiemi.
Ho capito ora che la richiesta di elementi distinti, data per ovvia, non lo è proprio del tutto in realtà.
Quando sono ammessi duplicati tra gli elementi, si complicano le operazioni (unione, intersezione, ecc), e probabilmente anche altri aspetti della teoria. Forse per questi motivi, si preferisce in genere la teoria classica degli insiemi.
Ho capito ora che la richiesta di elementi distinti, data per ovvia, non lo è proprio del tutto in realtà.
Salve andrea volterra,
eccoti un ebook gratuito:
http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... 1093634995
Cordiali saluti
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