Anelli di polinomi
Salve,
devo dimostrare che Z[x]/(I), dove I=(5x, x^2), non è un dominio.
Innanzitutto I=(5x, x^2)=(x) perchè M.C.D(5x,x^2)=x.
A questo punto mi basta dimostrare che I non è un ideale primo.
Ma: (x)={tutti i polinomi su Z con termine noto=0}?
Se, come credo, così fosse, dovrei trovare 2 polinomi in Z[x] non appartenenti ad I, tali che moltiplicati fra loro mi diano un polinomio con termine noto nullo......ho la sensazione che mi stia perdendo in un bicchiere d'acqua, tuttavia non capisco!
devo dimostrare che Z[x]/(I), dove I=(5x, x^2), non è un dominio.
Innanzitutto I=(5x, x^2)=(x) perchè M.C.D(5x,x^2)=x.
A questo punto mi basta dimostrare che I non è un ideale primo.
Ma: (x)={tutti i polinomi su Z con termine noto=0}?
Se, come credo, così fosse, dovrei trovare 2 polinomi in Z[x] non appartenenti ad I, tali che moltiplicati fra loro mi diano un polinomio con termine noto nullo......ho la sensazione che mi stia perdendo in un bicchiere d'acqua, tuttavia non capisco!
Risposte
"emilianor":Attento, questo è falso.
Innanzitutto I=(5x, x^2)=(x)
Ecco appunto, a proposito di bicchieri d'acqua......
(5x,x^2)={tutti i polinomi su Z che hanno termine noto nullo e coefficiente dell'eventuale termine in x multiplo di 5}
Di conseguenza presi a=x e b=5 si ha che a,b non appartengono a (5x,x^2), mentre il loro prodotto ab si, quindi l'ideale non è primo ed il quoziente Z[x]/(5x,x^2) non è un dominio d'integrità.
Grazie.
(5x,x^2)={tutti i polinomi su Z che hanno termine noto nullo e coefficiente dell'eventuale termine in x multiplo di 5}
Di conseguenza presi a=x e b=5 si ha che a,b non appartengono a (5x,x^2), mentre il loro prodotto ab si, quindi l'ideale non è primo ed il quoziente Z[x]/(5x,x^2) non è un dominio d'integrità.
Grazie.
"emilianor":Ancora non ci siamo, ma manca poco:
(5x,x^2)={tutti i polinomi su Z che hanno termine noto nullo e coefficiente dell'eventuale termine in x multiplo di 5}
1) $x^3$ appartiene all'ideale?
2) $x^5$ appartiene all'ideale?
Essendo Z[x] un anello commutativo con unità, gli elementi di (5x,x^2) sono combinazioni lineari di 5x e x^2 tramite coefficienti in Z[x], del tipo i=A*5x+B*x^2;
quindi se prendo A=x^2 (x^2 appartiene a Z[x]) e B=-4x ottengo i=(x^2)(*5x)+(-4x)(*x^2)=x^3.
Quindi anche x^3 e x^5 appartengono all'ideale (5x,x^2).
Questo secondo me non entra in conflitto con la definizione che ho proposto per (5x,x^2), cioè tutti i polinomi in Z[x] che hanno termine noto nullo (alias con grado maggiore o uguale a 1) e che hanno come coefficiente dell'eventuale termine di primo grado multiplo di 5.
quindi se prendo A=x^2 (x^2 appartiene a Z[x]) e B=-4x ottengo i=(x^2)(*5x)+(-4x)(*x^2)=x^3.
Quindi anche x^3 e x^5 appartengono all'ideale (5x,x^2).
Questo secondo me non entra in conflitto con la definizione che ho proposto per (5x,x^2), cioè tutti i polinomi in Z[x] che hanno termine noto nullo (alias con grado maggiore o uguale a 1) e che hanno come coefficiente dell'eventuale termine di primo grado multiplo di 5.
hai perfettamente ragione, scusami. Quello che hai scritto è corretto.
E io ho sbagliato. Strano, di solito le stupidate le scrivo la sera dopo una certa ora. Devo cominciare a preoccuparmi
E io ho sbagliato. Strano, di solito le stupidate le scrivo la sera dopo una certa ora. Devo cominciare a preoccuparmi
Meno male.....sentivo crollare le mie ultime certezze....pensavo di cambiare facoltà!
Grazie.
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo