Ideali monomiali primari
Salve a tutti, sto studiando dei vecchi appunti di Algebra Commutativa e mi sono imbattuto in un'affermazione apparentemente banale ma che non riesco a dimostrare.
Sia $K[X_1, ... , X_n]$ un anello di polinomi con $K$ campo e sia $I$ un ideale monomiale.
$I$ è un ideale primario se e solo se si presenta come:
$I=(X_{a_1}^{b_1}, ... , X_{a_r}^{b_r}, m_1, ... , m_s)$
con gli $a_i$ indici distinti (e cioè $X_{a_i}$ variabili distinte)
con $b_i \ge 1$ per ogni $i$
e gli $m_j$ monomi con supp($m_j$) $ \subseteq \{ X_{a_1}, ... , X_{a_r} \}$ per ogni $j$ (con supp indico il supporto di un monomio, cioè l'insieme delle variabili che hanno esponente positivo nel monomio)
Ora, è vera questa proprietà? Come si dimostra?
Sia $K[X_1, ... , X_n]$ un anello di polinomi con $K$ campo e sia $I$ un ideale monomiale.
$I$ è un ideale primario se e solo se si presenta come:
$I=(X_{a_1}^{b_1}, ... , X_{a_r}^{b_r}, m_1, ... , m_s)$
con gli $a_i$ indici distinti (e cioè $X_{a_i}$ variabili distinte)
con $b_i \ge 1$ per ogni $i$
e gli $m_j$ monomi con supp($m_j$) $ \subseteq \{ X_{a_1}, ... , X_{a_r} \}$ per ogni $j$ (con supp indico il supporto di un monomio, cioè l'insieme delle variabili che hanno esponente positivo nel monomio)
Ora, è vera questa proprietà? Come si dimostra?
Risposte
Giusto per fare un esempio, questo criterio dice che in $K[x,y,z]$
$I=(x^2, y^3, xy)$ è primario
mentre $J=(x^2, y^3, xz)$ non lo è
$I=(x^2, y^3, xy)$ è primario
mentre $J=(x^2, y^3, xz)$ non lo è
Nessuno mi sa aiutare? Almeno a capire se questa caratterizzazione è esatta 
Scusa, ma che intendi per ideale monomiale?
E' un ideale generato da monomi
Guarda, mi sono ripassato i concetti sul Dummit Foote e ti dico che questo è un semplice esercizio, inizierei con l'ipotizzare di avere un ideale primario e vede che accade; ma per supporto di un monomio intendi anche i monomi con termini misti?
"j18eos":
ma per supporto di un monomio intendi anche i monomi con termini misti?
Non ho capito bene la domanda, quindi ti riporto direttamente la definizione di supporto di un monomio che conosco io:
Sia $m=X_1^{a_1}...X_n^{a_n}$ un monomio in $K[X_1,...,X_n]$
definisco supporto di m l'insieme supp(m)= $\{ X_i : a_i \gt 0 \}$
In parole povere l'insieme delle variabili che dividono il monomio
Comunque non riesco a venire a capo del mio problema. Secondo il criterio che ho scritto, l'ideale $I=(x^2,xy)$ non dovrebbe essere primario, e credo che dovrei dimostrarlo sfruttando il fatto che $xy \in I$ ma questo non mi porta da nessuna parte, perché anche se $y \notin I$ ho comunque che $x^2 \in I$
Puoi aiutarmi?
Scusate se uppo, ma ho bisogno di aiuto
Mi sento pur'io in colpa che non ti ho ancora dato la risposta che ho in mente, domani in mattinata provvederò...
Abbi un po di pazienza.
Abbi un po di pazienza.
Seguendo la definizione di ideale primario a me risulta che \(J\) è un ideale primario; infatti \(xz\in J;z\notin J;x^2\in J\)!
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