Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao a tutti, vorrei chiedervi ocnsiglio su una dimostrazione: Se avessi un esrcizio che dice: Dimostra che: Due insiemi $X$ e $Y$ finiti e non vuoti hanno la stessa cardinalità se e soltanto se esiste una funzione $\psi:X\toY$ biettiva. Ehm... se $\psi$ è biettiva, allora e' anche suriettiva e iniettiva! Quindi l'immagione di $\psi(X)$ ricopre tutto $Y$ e ad ogni elemento di $X$ associa uno ed uno solo dell' ...

Ciao a tutti, vi chiedo una mano per un esercizio che non riesco proprio a fare. Ho una applicazione $Z_88 -> Z_88$ tale che $f(a)=10a$ Devo stabilire se è iniettiva, suriettiva e un omomorfismo di gruppi. Come procedere? Sinceramente ho pensato che fosse un omomorfismo poichè la $f(0)=0$ e $f(a+b)=f(a)+f(b)$ Ma da questo punto in poi, come procedere? Perchè nelle risoluzioni, che mi sono state inviate da alcuni compagni, si dice che $f(0)=f(44)=0$ perciò NON è ...

Ciao a tutti ragazzi, in previsione di un esame di algebra e logica mi sono imbattuto in questo esercizio: Dato un gruppo [tex]G= \mathbb{Z}3 X \mathbb{Z}6 [/tex] Trovare la sua tabella moltiplicativa e la tabella dei caratteri, dove per caratteri si intende un omomorfismo di gruppi [tex]χ : G \rightarrow \mathbb{C}[/tex] Dove con Z3 e Z6 si intendono gruppi moltiplicativi con elementi primi a n senza lo 0 cioé [tex]\mathbb{Z}3={1,2} e \mathbb{Z}6 = {1,5}[/tex] La prima cosa che ...

Ciao a tutti! Da un paio di giorni mi sono imbattuta in un esercizio in cui sto trovando difficoltà, e volevo proporvelo. Dimostrare che l'insieme \(\displaystyle X = { 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) }\) è un sottogruppo di \(\displaystyle A_4\) normale in \(\displaystyle S_4 \) ed isomorfo a \(\displaystyle V_4 \). Dimostrarlo "empiricamente" vorrebbe dire fare i coniugati degli elementi di \(\displaystyle X \) con gli elementi di \(\displaystyle S_4 \), ma mi chiedevo se c'è qualcosa che ...

Qualunque sia la base $x$, il numero che in quella base si scrive $11011$ : a) è pari b) è dispari c) è primo d) non è primo e) non è divisibile per 3 provo a ragionare: numero = $1+x+x^3+x^4$ adesso se x pari -> numero pari se x dispari -> numero dispari quindi la a) e b) sono escluse sui numeri primi non riesco a pronunciarmi

Salve, ho alcuni dubbi sulla dimostrazione di una proposizione. Sia G un gruppo finito. Sono equivalenti: a)$|G|=p^n$, $n\geq 1$ con p primo b)$\forall x\in G, |x|$ è una potenza di p Dimostrare che b)$\Rightarrow$a) non mi risulta del tutto chiaro. Mi è stato detto di usare il teorema di Cauchy, per il quale si ha che $\forall$ p primo, divisore di $|G|$ $\exists x\in G, |x|=p$. Ma in che modo arrivo a dire che $|G|=p^n$?

Usando il metodo suggerito dalla dimostazione del teorema di Post, trovare una formula in forma normale disgiuntiva (DNF) e una in forma normale congiuntiva (CNF) equivalenti a $\phi = \neg (p \wedge q) \rightarrow (q \leftrightarrow r)$ Ho calcolato la tabella di verità quindi la forma normale disgiuntiva $\phi^{DNF}$ è $(p \wedge q \wedge r) \vee (p \wedge q \wedge \neg r) \vee (p \wedge \neg q \wedge \neg r) \vee (\neg p \wedge q \wedge r) \vee (\neg p \wedge \neg q \wedge \neg r)$ La forma congiuntiva si ottiene applicando de Morgan alla formula equivalente $\neg ((\neg \phi)^{DNF})$ $(\neg \phi)^{DNF} = (p \wedge \neg q \wedge r ) \ vee (\neg p \wedge q \wedge \neg r) \vee (\neg p \wedge \neg q \wedge r)$ e applicando De Morgan $\phi^{CNF} = \neg ((\neg \phi)^{DNF}) = (\neg p \vee q \vee \neg r ) \wedge ( p \vee \neg q \vee r) \wedge (p \vee q \vee \neg r)$ Fatto bene? Grazie.

Salve di nuovo a tutti. Sto studiando Statistica sulle dispense del mio professore, e non ho capito un passaggio che ha svolto come conseguenza al teorema del viriale, ed un altro sulle fluttuazioni di energia. Qualcuno può aiutarmi? Dovrebbero essere cose facili.. 1) Dettagli a parte (sistema autogravitante, unica forza esterna = gravità), torna che, per N particelle (i,j=1..N), sia: $f(i) = sum(Gm(i)m(j)(r(j)-r(i))/|r(j)-r(i)|^3)$ (somma per i diverso da j) $V = sum(r(i)*f(i))$ (somma su i) A questo punto, ...

Allora volevo solo un piccolo chiarimento riguardo un esercizio: G gruppo di ordine 48, dimostrare che non può essere semplice. Allora quindi per dimostrare che non è semplice, devo dimostrare che ha sottogruppi normali diversi da quelli banali Quindi adesso considero i sottogruppi di Sylow, 48= 3* $ (2)^(4) $ ed ho i 3-sottogruppi di Sylow che possono essere o 1, o 4, o 16 e i 2-sottogruppi di Sylow che possono essere o 1 o 3. A questo punto suppongo per assurdo che G sia semplice e ...

Devo semplificare questa formula $(q \vee (((\neg p) \wedge q) \leftrightarrow F ))$, cioè trovarne una logicamente equivalente ma più corta. Ho fatto così (con $T$ e $F$ indico vero e falso...) $q \vee (((\neg p) \wedge q) \leftrightarrow F )$ $q \vee ((((\neg p) \wedge q) \rightarrow F ) \wedge (F \rightarrow ((\neg p) \wedge q)))$ $q \vee ((((\neg p) \wedge q) \rightarrow F ) \wedge T)$ (ex falso quodlibet) $q \vee (((\neg p) \wedge q) \rightarrow F )$ $q \vee ( \neg ((\neg p) \wedge q))$ (perchè $\phi \rightarrow F$ equivale a $\neg \phi$ ) $q \vee (p \vee (\neg q))$ (De Morgan) $q \vee ((\neg q) \vee p)$ (proprietà commutativa di $ \vee $) $(q \vee (\neg q)) \vee p$ (proprietà associativa di ...

Salve a tutti, posto il testo di un esercizio che ho provato a fare, ma non riesco proprio a capire se il ragionamento sia giusto. Sia $s:R^3->R^4$ l’applicazione tale che $s(x,y,z) = (4x+y, 5y, x+z, y+z)$ È suriettiva? Iniettiva? Omomorfismo di spazi vettoriali di R? Essendo $3<4$ l'applicazione è sicuramente iniettiva, ma non suriettiva (essendo il codominio più grande del dominio è evidente che qualche elemento del codominio rimarrà scoperto e quindi non è suriettiva). Per quanto riguarda ...

salve a tutti... vorrei sapere come si continua lo svolgimento e se fino a dove mi son fermato ho ragionato bene... y'=2x(y^2) allora in primis pongo dy/dx=2xy^2 (1/(y^2))dy=(2x)dx che mi da -1/y=x^2+c poi non so come procedere per trovare y(x)... chi sarebbe cosi' gentile da spiegarmelo? grazie in anticipo

Ciao a tutti. Mi sono trovato davanti un'applicazione $F: Z_56 -> Z_56$ tale che $F(a)=24a$per ogni a. Devo stabilire se è iniettiva/suriettiva/omomorfismo. è un omomorfismo, poichè f(a)+f(b)=f(a+b). Ma per quanto riguarda l'iniettività, come posso fare? Devo utilizzare qualche ragionamento sui divisori dello zero? Grazie in anticipo

Salve a tutti, volevo sapere avendo a disposizione le seguenti formule di linguaggio 1°ordine, che formalizzano alcune def.: $Def.$: $A={x} harr EEx(x in A ^^ AAz(z in A -> z=x))$. $Def.$: $A={x,y} harr EEx,EEy(x in A ^^ y in A ^^ AAz(z in A -> z=x vv z=y))$. $Def.$: $B=(x,y) harr AAZ(Z in B harr Z={x} vv Z={x,y})$. $Def.$: $A$ è una relazione (talvolta si indica con la scrittura $_{rel}A$) $harr AAZ(Z in A ->EEx,EEy(Z=(x,y)))$ come vedasi, in teoria degli insiemi formalizzano il concetto di singoletto, coppia non-ordinata, coppia ordinata, ed relazione ...

Ciao a tutti! Mi appello, ancora una volta, a voi.. per un dubbio che riguarda le applicazioni, in particolare quelle del tipo: $F:V->W$ con $dimV<dimW$. Come fare, questi casi a capire iniettività/suriettività e omomorfismo? Laddove $dimV>dimW$ l'applicazione è iniettiva se $Im(f)=dimv$ e suriettiva se $Im(f)=dimW$ ... ma nel caso sopracitato non saprei proprio come procedere! Vi ringrazio.

Salve a tutti ,mi appello a voi per farvi prendere sotto esame alcune risoluzioni di esercizi. Esercizio n° 1 : Ho questa permutazione $\alpha = (1,4,10,7)(2,11,3,12,8,9,13,6,5) in S_13$ voglio mostrare che $H={\sigma in G | (\sigma\)^2(1)=1 , (\sigma\)^3(2)=2}$ è ciclico, e determinare ordine e generatore. Trovare 2 sottogruppi di H non Banali. Ho ragionato cosi : Se $\sigma in G$ è un elemento di $G=<\alpha>$ che soddisfa le condizioni richieste, allora , tutte le potenze di $\sigma$ soddisfano le condizioni richieste. Da cui ...

Salve a tutti, mi sto preparando per un esame di matematica discreta, e sono incappato in un esercizio, forse fra i più facili, che non riesco a concludere. il testo dice: "Sia $F:Z_56 -> Z_56$ l'applicazione tale che $F(a)=24a$ per ogni a. Stabilire se F è iniettiva, suriettiva ed omomorfismo di gruppi. Per quanto riguarda questa prima parte non ci sono problemi. In una seconda parte dell'esercizio chiede, Se possibile, di definire una applicazione: $H: Z-> Z_56$ tale che ...

Ho bisogno di un aiutino per digerire una dimostrazione dal Rotman: http://imageshack.us/f/232/immaginewq.jpg Alla quarta riga afferma che l'orbita $G.H$ ha cardinalità $1$. A me non è chiaro il motivo! Visto che $H$ non è normale perchè non esiste nessun elemento di $G$ che coniuga $H$ in qualche altro sottogruppo? Grazie in anticipo!

Un sottoinsieme $S$ di un gruppo $G$ si dice stabile per coniugio se $xsx^-1 \in S \ \ \forall x \in G, \ \ s \in S$. (i) Provare che $\forall X \subset G $ l'insieme ${S|X\subseteq S \subseteq G$, $S$ stabile per coniugio$}$ ha un elemento minimo (per l'inclusione). (ii) Dimostrare che se $S$ è stabile per coniugio allora anche il sottogruppo generato da $S$ è stabile per coniugio. Ho dei dubbi sulla mia soluzione del punto (i)..nella soluzione ...

Sia $f:RR^2rarrRR^2$ definita come di seguito: $f(x,y)=(x^2+y^2,x^2-y^2)$ Calcolare le retroimmagini: $f^-1(1,1)=$ $f^-1(1,-1)=$ $f^-1(-1,1)=$ $f^-1(-1,-1)=$ e dimostrare se la funzione f è lineare, suriettiva, iniettiva. Dunque ho dedotto che la funzione non sia lineare in quanto di secondo grado, ma non riesco a fornire una dimostrazione. Per iniettività/suriettività devo ricavare la matrice, ridurla a squadra e considerare il rango del dominio e del codominio? Perché in questo ...