Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao a tutti! Da un paio di giorni mi sono imbattuta in un esercizio in cui sto trovando difficoltà, e volevo proporvelo. Dimostrare che l'insieme \(\displaystyle X = { 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) }\) è un sottogruppo di \(\displaystyle A_4\) normale in \(\displaystyle S_4 \) ed isomorfo a \(\displaystyle V_4 \). Dimostrarlo "empiricamente" vorrebbe dire fare i coniugati degli elementi di \(\displaystyle X \) con gli elementi di \(\displaystyle S_4 \), ma mi chiedevo se c'è qualcosa che ...

Qualunque sia la base $x$, il numero che in quella base si scrive $11011$ : a) è pari b) è dispari c) è primo d) non è primo e) non è divisibile per 3 provo a ragionare: numero = $1+x+x^3+x^4$ adesso se x pari -> numero pari se x dispari -> numero dispari quindi la a) e b) sono escluse sui numeri primi non riesco a pronunciarmi

Salve, ho alcuni dubbi sulla dimostrazione di una proposizione. Sia G un gruppo finito. Sono equivalenti: a)$|G|=p^n$, $n\geq 1$ con p primo b)$\forall x\in G, |x|$ è una potenza di p Dimostrare che b)$\Rightarrow$a) non mi risulta del tutto chiaro. Mi è stato detto di usare il teorema di Cauchy, per il quale si ha che $\forall$ p primo, divisore di $|G|$ $\exists x\in G, |x|=p$. Ma in che modo arrivo a dire che $|G|=p^n$?

Usando il metodo suggerito dalla dimostazione del teorema di Post, trovare una formula in forma normale disgiuntiva (DNF) e una in forma normale congiuntiva (CNF) equivalenti a $\phi = \neg (p \wedge q) \rightarrow (q \leftrightarrow r)$ Ho calcolato la tabella di verità quindi la forma normale disgiuntiva $\phi^{DNF}$ è $(p \wedge q \wedge r) \vee (p \wedge q \wedge \neg r) \vee (p \wedge \neg q \wedge \neg r) \vee (\neg p \wedge q \wedge r) \vee (\neg p \wedge \neg q \wedge \neg r)$ La forma congiuntiva si ottiene applicando de Morgan alla formula equivalente $\neg ((\neg \phi)^{DNF})$ $(\neg \phi)^{DNF} = (p \wedge \neg q \wedge r ) \ vee (\neg p \wedge q \wedge \neg r) \vee (\neg p \wedge \neg q \wedge r)$ e applicando De Morgan $\phi^{CNF} = \neg ((\neg \phi)^{DNF}) = (\neg p \vee q \vee \neg r ) \wedge ( p \vee \neg q \vee r) \wedge (p \vee q \vee \neg r)$ Fatto bene? Grazie.

Salve di nuovo a tutti. Sto studiando Statistica sulle dispense del mio professore, e non ho capito un passaggio che ha svolto come conseguenza al teorema del viriale, ed un altro sulle fluttuazioni di energia. Qualcuno può aiutarmi? Dovrebbero essere cose facili.. 1) Dettagli a parte (sistema autogravitante, unica forza esterna = gravità), torna che, per N particelle (i,j=1..N), sia: $f(i) = sum(Gm(i)m(j)(r(j)-r(i))/|r(j)-r(i)|^3)$ (somma per i diverso da j) $V = sum(r(i)*f(i))$ (somma su i) A questo punto, ...

Allora volevo solo un piccolo chiarimento riguardo un esercizio: G gruppo di ordine 48, dimostrare che non può essere semplice. Allora quindi per dimostrare che non è semplice, devo dimostrare che ha sottogruppi normali diversi da quelli banali Quindi adesso considero i sottogruppi di Sylow, 48= 3* $ (2)^(4) $ ed ho i 3-sottogruppi di Sylow che possono essere o 1, o 4, o 16 e i 2-sottogruppi di Sylow che possono essere o 1 o 3. A questo punto suppongo per assurdo che G sia semplice e ...

Devo semplificare questa formula $(q \vee (((\neg p) \wedge q) \leftrightarrow F ))$, cioè trovarne una logicamente equivalente ma più corta. Ho fatto così (con $T$ e $F$ indico vero e falso...) $q \vee (((\neg p) \wedge q) \leftrightarrow F )$ $q \vee ((((\neg p) \wedge q) \rightarrow F ) \wedge (F \rightarrow ((\neg p) \wedge q)))$ $q \vee ((((\neg p) \wedge q) \rightarrow F ) \wedge T)$ (ex falso quodlibet) $q \vee (((\neg p) \wedge q) \rightarrow F )$ $q \vee ( \neg ((\neg p) \wedge q))$ (perchè $\phi \rightarrow F$ equivale a $\neg \phi$ ) $q \vee (p \vee (\neg q))$ (De Morgan) $q \vee ((\neg q) \vee p)$ (proprietà commutativa di $ \vee $) $(q \vee (\neg q)) \vee p$ (proprietà associativa di ...

Salve a tutti, posto il testo di un esercizio che ho provato a fare, ma non riesco proprio a capire se il ragionamento sia giusto. Sia $s:R^3->R^4$ l’applicazione tale che $s(x,y,z) = (4x+y, 5y, x+z, y+z)$ È suriettiva? Iniettiva? Omomorfismo di spazi vettoriali di R? Essendo $3<4$ l'applicazione è sicuramente iniettiva, ma non suriettiva (essendo il codominio più grande del dominio è evidente che qualche elemento del codominio rimarrà scoperto e quindi non è suriettiva). Per quanto riguarda ...

salve a tutti... vorrei sapere come si continua lo svolgimento e se fino a dove mi son fermato ho ragionato bene... y'=2x(y^2) allora in primis pongo dy/dx=2xy^2 (1/(y^2))dy=(2x)dx che mi da -1/y=x^2+c poi non so come procedere per trovare y(x)... chi sarebbe cosi' gentile da spiegarmelo? grazie in anticipo

Ciao a tutti. Mi sono trovato davanti un'applicazione $F: Z_56 -> Z_56$ tale che $F(a)=24a$per ogni a. Devo stabilire se è iniettiva/suriettiva/omomorfismo. è un omomorfismo, poichè f(a)+f(b)=f(a+b). Ma per quanto riguarda l'iniettività, come posso fare? Devo utilizzare qualche ragionamento sui divisori dello zero? Grazie in anticipo

Salve a tutti, volevo sapere avendo a disposizione le seguenti formule di linguaggio 1°ordine, che formalizzano alcune def.: $Def.$: $A={x} harr EEx(x in A ^^ AAz(z in A -> z=x))$. $Def.$: $A={x,y} harr EEx,EEy(x in A ^^ y in A ^^ AAz(z in A -> z=x vv z=y))$. $Def.$: $B=(x,y) harr AAZ(Z in B harr Z={x} vv Z={x,y})$. $Def.$: $A$ è una relazione (talvolta si indica con la scrittura $_{rel}A$) $harr AAZ(Z in A ->EEx,EEy(Z=(x,y)))$ come vedasi, in teoria degli insiemi formalizzano il concetto di singoletto, coppia non-ordinata, coppia ordinata, ed relazione ...

Ciao a tutti! Mi appello, ancora una volta, a voi.. per un dubbio che riguarda le applicazioni, in particolare quelle del tipo: $F:V->W$ con $dimV<dimW$. Come fare, questi casi a capire iniettività/suriettività e omomorfismo? Laddove $dimV>dimW$ l'applicazione è iniettiva se $Im(f)=dimv$ e suriettiva se $Im(f)=dimW$ ... ma nel caso sopracitato non saprei proprio come procedere! Vi ringrazio.

Salve a tutti ,mi appello a voi per farvi prendere sotto esame alcune risoluzioni di esercizi. Esercizio n° 1 : Ho questa permutazione $\alpha = (1,4,10,7)(2,11,3,12,8,9,13,6,5) in S_13$ voglio mostrare che $H={\sigma in G | (\sigma\)^2(1)=1 , (\sigma\)^3(2)=2}$ è ciclico, e determinare ordine e generatore. Trovare 2 sottogruppi di H non Banali. Ho ragionato cosi : Se $\sigma in G$ è un elemento di $G=<\alpha>$ che soddisfa le condizioni richieste, allora , tutte le potenze di $\sigma$ soddisfano le condizioni richieste. Da cui ...

Salve a tutti, mi sto preparando per un esame di matematica discreta, e sono incappato in un esercizio, forse fra i più facili, che non riesco a concludere. il testo dice: "Sia $F:Z_56 -> Z_56$ l'applicazione tale che $F(a)=24a$ per ogni a. Stabilire se F è iniettiva, suriettiva ed omomorfismo di gruppi. Per quanto riguarda questa prima parte non ci sono problemi. In una seconda parte dell'esercizio chiede, Se possibile, di definire una applicazione: $H: Z-> Z_56$ tale che ...

Ho bisogno di un aiutino per digerire una dimostrazione dal Rotman: http://imageshack.us/f/232/immaginewq.jpg Alla quarta riga afferma che l'orbita $G.H$ ha cardinalità $1$. A me non è chiaro il motivo! Visto che $H$ non è normale perchè non esiste nessun elemento di $G$ che coniuga $H$ in qualche altro sottogruppo? Grazie in anticipo!

Un sottoinsieme $S$ di un gruppo $G$ si dice stabile per coniugio se $xsx^-1 \in S \ \ \forall x \in G, \ \ s \in S$. (i) Provare che $\forall X \subset G $ l'insieme ${S|X\subseteq S \subseteq G$, $S$ stabile per coniugio$}$ ha un elemento minimo (per l'inclusione). (ii) Dimostrare che se $S$ è stabile per coniugio allora anche il sottogruppo generato da $S$ è stabile per coniugio. Ho dei dubbi sulla mia soluzione del punto (i)..nella soluzione ...

Sia $f:RR^2rarrRR^2$ definita come di seguito: $f(x,y)=(x^2+y^2,x^2-y^2)$ Calcolare le retroimmagini: $f^-1(1,1)=$ $f^-1(1,-1)=$ $f^-1(-1,1)=$ $f^-1(-1,-1)=$ e dimostrare se la funzione f è lineare, suriettiva, iniettiva. Dunque ho dedotto che la funzione non sia lineare in quanto di secondo grado, ma non riesco a fornire una dimostrazione. Per iniettività/suriettività devo ricavare la matrice, ridurla a squadra e considerare il rango del dominio e del codominio? Perché in questo ...

$2x -= 3 (mod. 5)$ Ragazzi faccio $MCD(2,5)=1,$ $5=2*2+1 => 1=5*(1)+2(-2)$, $[-2] = [3] in Z_5$ , $[3]$ dovrebbe essere soluzione ma non lo è???

Ho messo il titolo con il punto interrogativo perchè non sono sicuro che sia effettivamente un omomorfismo di gruppi (nel caso attendo correzioni). Se [tex]\rho : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex] è una funzione che assegna ad ogni intero il suo resto modulo [tex]n[/tex], esiste allora una ed una sola operazione binaria [tex]\oplus[/tex] su [tex]\mathbb{Z}_n =\{\bar{0},\bar{1},...,\bar{n-1}\}[/tex] tale che si abbia [tex]\rho(a+b)=(\rho(a) \oplus (\rho(b))[/tex] per tutti [tex]a,b \in ...

Se [tex]A \subset B \Rightarrow A \cup B = B \Rightarrow A \cap B = A \Rightarrow A \subset B[/tex] Bene, se studio la proposizione con i diagrammi di Venn trovo che sia banalmente vera. Dimostrarlo invece mi sta sfiancando Parto dalle definizioni: [tex]A \subset B := \{x | x \in A \Rightarrow x \in B\}[/tex] [tex]A \cup B = B := \{x | x \in A \lor x \in B \Leftrightarrow x \in B \}[/tex] [tex]A \cap B = A := \{x | x \in A \land x \in B \Leftrightarrow x \in A \}[/tex] Ho provato la prima ...