Divisore dello zero in applicazione
Ciao a tutti.
Mi sono trovato davanti un'applicazione $F: Z_56 -> Z_56$ tale che $F(a)=24a$per ogni a.
Devo stabilire se è iniettiva/suriettiva/omomorfismo.
è un omomorfismo, poichè f(a)+f(b)=f(a+b).
Ma per quanto riguarda l'iniettività, come posso fare? Devo utilizzare qualche ragionamento sui divisori dello zero?
Grazie in anticipo
Mi sono trovato davanti un'applicazione $F: Z_56 -> Z_56$ tale che $F(a)=24a$per ogni a.
Devo stabilire se è iniettiva/suriettiva/omomorfismo.
è un omomorfismo, poichè f(a)+f(b)=f(a+b).
Ma per quanto riguarda l'iniettività, come posso fare? Devo utilizzare qualche ragionamento sui divisori dello zero?
Grazie in anticipo
Risposte
Perché sui divisori dello zero scusa?
Hai trovato che $F(a) = 24a , AA a in ZZ_56$ è un omomorfismo.
Quindi per l'ingettività puoi ragionare in tre modi. Uno è con la definizione di funzione iniettiva , due trovare esplicitamente un controesempio, tre determinare il nucleo di quell'applicazione.
Io ti mostro il terzo, te cerca di ragionare sugli altri due.
Sia $[a]_56 in ZZ_56$
$ [a]_56 in KerF <=> F([a])= [0]_56 => 26a-=0(mod56)=> 13a-=0(mod28) => a-=0(mod28) $
Pertanto $ Kerf ={ a in ZZ_56 | a-=0(mod28) }$ e quindi non è il sottogruppo banale di $ZZ_56$ da cui si deduce che...f non è iniettiva.
Ora, per la surgettività che dici, stà funzione è surgettiva?
Provaci, pensa alla definizione.
Hai trovato che $F(a) = 24a , AA a in ZZ_56$ è un omomorfismo.
Quindi per l'ingettività puoi ragionare in tre modi. Uno è con la definizione di funzione iniettiva , due trovare esplicitamente un controesempio, tre determinare il nucleo di quell'applicazione.
Io ti mostro il terzo, te cerca di ragionare sugli altri due.
Sia $[a]_56 in ZZ_56$
$ [a]_56 in KerF <=> F([a])= [0]_56 => 26a-=0(mod56)=> 13a-=0(mod28) => a-=0(mod28) $
Pertanto $ Kerf ={ a in ZZ_56 | a-=0(mod28) }$ e quindi non è il sottogruppo banale di $ZZ_56$ da cui si deduce che...f non è iniettiva.
Ora, per la surgettività che dici, stà funzione è surgettiva?
Provaci, pensa alla definizione.
Il mio ragionamento partiva dal fatto che, nella correzione fatta dalla prof. nel tema d'esame, si dice che l'applicazione non è iniettiva, semplicemente perchè $f(0)=0$ e $f(7)=0$
Per questo mi chiedevo se servisse ragionare sui divisori dello zero.
Come mai lei ha scritto questa cosa?
Per questo mi chiedevo se servisse ragionare sui divisori dello zero.
Come mai lei ha scritto questa cosa?
Perché per dire che una funzione non è ingettiva basta trovare un controesempio, quello che ha fatto la tua professoressa.
Ti faccio un esempio.
$f : R -> R , AA x in R , f(X)=x^2$
f non è iniettiva. Infatti $ f(1) = 1$ e $ f(-1)=1$.
La verità è che per dimostrare qualcosa , la strada non è unica.
Ti faccio un esempio.
$f : R -> R , AA x in R , f(X)=x^2$
f non è iniettiva. Infatti $ f(1) = 1$ e $ f(-1)=1$.
La verità è che per dimostrare qualcosa , la strada non è unica.
Sisi, su questo c'ero.
Ma intendo, come mai $f(7)=0$?
Che ragionamento è stato fatto?
P.s: grazie davvero tanto per l'aiuto.
Ma intendo, come mai $f(7)=0$?
Che ragionamento è stato fatto?
P.s: grazie davvero tanto per l'aiuto.
Mmh,guarda dovresti chiedere alla tua prof. Non so, ragionare cosi è un poco ad intuito ed occhio.
Il fatto è che $[0]_56$ e $[7]_56$ sono due elementi di $ZZ_56$ diversi ma che hanno la stessa immagine.
Il fatto che $[24*7]_56 = {0]_56$ è dovuto al fatto che $24,56$ non sono coprimi e quindi 24 è un divisore dello zero, certo.
Ma non c'è processo puramente logico nell'individuare proprio quei numeri,probabilmente si è accorta che quei due numeri avevano la stessa immagine e quindi f non è ingettiva.
Un po come dire,a tentativi.
.
Secondo me ragiona sugli altri modi,sono molto lunghi delle volte ma efficaci.
tipo calcolare il Kernel lo puoi fare SOLO SE f è un omomorfismo.
e sfruttare la definizione puoi farlo, sempre.
Metti c he f era iniettiva, come trovavi coppie di numeri diversi che avevano la stessa immagine? Avresti dovuto valutare f per ogni elemento di $ZZ_56$ per poi concludere che f era iniettiva?
Il fatto è che $[0]_56$ e $[7]_56$ sono due elementi di $ZZ_56$ diversi ma che hanno la stessa immagine.
Il fatto che $[24*7]_56 = {0]_56$ è dovuto al fatto che $24,56$ non sono coprimi e quindi 24 è un divisore dello zero, certo.
Ma non c'è processo puramente logico nell'individuare proprio quei numeri,probabilmente si è accorta che quei due numeri avevano la stessa immagine e quindi f non è ingettiva.
Un po come dire,a tentativi.
.Secondo me ragiona sugli altri modi,sono molto lunghi delle volte ma efficaci.
tipo calcolare il Kernel lo puoi fare SOLO SE f è un omomorfismo.
e sfruttare la definizione puoi farlo, sempre.
Metti c he f era iniettiva, come trovavi coppie di numeri diversi che avevano la stessa immagine? Avresti dovuto valutare f per ogni elemento di $ZZ_56$ per poi concludere che f era iniettiva?
Esatto, è proprio questo il discorso. Grazie mille sei un grandissimo.
Mi studio il procedimento che hai fatto qua sopra! Determino il nucleo!
Mi studio il procedimento che hai fatto qua sopra! Determino il nucleo!
"Kashaman":
Sia $[a]_56 in ZZ_56$
$ [a]_56 in KerF <=> F([a])= [0]_56 => 26a-=0(mod56)=> 13a-=0(mod28) => a-=0(mod28) $
Pertanto $ Kerf ={ a in ZZ_56 | a-=0(mod28) }$
Scusa perchè $26a-=0(mod56)$ ?
errore di battitura, è $[24a]_56$
ah 24? non è 28? Scusa, ultima domanda =)
sorry. Te la correggo.
Sia $ [a]_56$
$[a]_56 in KerF <=> F([a]_56)= [0]_56 => [24a]_56=[0]_56 => 24a-=0(mod56)$ poiché $(56,24)=8$ segue che
$3a-=0(m0d7) => a-=0(mod7)} $
pertanto
$KerF = { [a]_56 | a-=0(mod7)} = { [7]_56 , [14]_56 , [21]_56 , [28]_56 , [35]_36 , [42]_56 , [49]_56 , [0]_56 }$.
Nota :
Puoi usare questa cosa se e solo se f è un omomorfismo.
in particolare ti permette di stabilire se f è un monomorfismo, cioè un omomorfismo iniettivo. (sai di cosa parlo si? sai cos'è il nucleo , si?)
In particolare vale che
se $f : G_1 -> G_2$ è un omomorfismo tra strutture (anelli,gruppi....) . Si ha che
f monomorfismo $<=>$ $kerf = {0}$ cioè è il sottoanello\sottogruppo\sottocampo\quello che vuoi. Banale di $G_1$
Inoltre un'altra piccola nota. Se hai un'applicazione $G_1,G_2 : |G_1| = |G_2| $ se f è ingettiva automaticamente è surgettiva e viceversa. Spero di esser stato chiaro , ciao!:)
Sia $ [a]_56$
$[a]_56 in KerF <=> F([a]_56)= [0]_56 => [24a]_56=[0]_56 => 24a-=0(mod56)$ poiché $(56,24)=8$ segue che
$3a-=0(m0d7) => a-=0(mod7)} $
pertanto
$KerF = { [a]_56 | a-=0(mod7)} = { [7]_56 , [14]_56 , [21]_56 , [28]_56 , [35]_36 , [42]_56 , [49]_56 , [0]_56 }$.
Nota :
Puoi usare questa cosa se e solo se f è un omomorfismo.
in particolare ti permette di stabilire se f è un monomorfismo, cioè un omomorfismo iniettivo. (sai di cosa parlo si? sai cos'è il nucleo , si?)
In particolare vale che
se $f : G_1 -> G_2$ è un omomorfismo tra strutture (anelli,gruppi....) . Si ha che
f monomorfismo $<=>$ $kerf = {0}$ cioè è il sottoanello\sottogruppo\sottocampo\quello che vuoi. Banale di $G_1$
Inoltre un'altra piccola nota. Se hai un'applicazione $G_1,G_2 : |G_1| = |G_2| $ se f è ingettiva automaticamente è surgettiva e viceversa. Spero di esser stato chiaro , ciao!:)
Chiarissimo, ti ringrazio!
beh quindi la mia insegnate ha scritto che $f(0)=0$ perchè effettivamente, grazie al ragionamento sul $KerF$viene $[7]_56=0$.
O sbaglio ancora?
O sbaglio ancora?
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