Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Sia [tex](A,+,*)[/tex] un anello e sia [tex]a \in A, a \ne 0[/tex]. [tex]a[/tex] viene detto divisore dello zero se [tex]\exists b \in A,b \ne 0[/tex] tale che [tex]a*b=0[/tex]. In $ZZ_6$ i divisori dello zero dovrebbero (uso il condizionale perchè ho dei dubbi): [tex][2]_6,[3]_6,[4]_6[/tex], infatti: [tex][2]_6*[3]_6=[6]_6=[0]_6[/tex] e [tex][4]_6*[3]_6=[12]_6=[6]_6=[0]_6[/tex] ma [tex][2]_6*[4]_6=[8]_6=[2]_6[/tex]. E' corretto questo?

Buongiorno (o buonasera) a tutti. Proseguendo con lo studio di Gödel e dei teoremi d'incompletezza mi sono imbattuto nella ricorsione primitiva. Leggo: una funzione numero-teoretica \(\displaystyle \phi (x_1, x_2, ..., x_n) \) è detta ricorsivamente definita nei termini delle funzioni numero-teoretiche \(\displaystyle \psi (x_1, x_2, ..., x_n-1)\) [il \(\displaystyle -1 \) dovrebbe essere sotto, accanto alla n, ma non riesco a scriverlo] e \(\displaystyle \mu(x_1, x_2, ..., x_n+1)\) [idem come ...

Ciao a tutti, ho dei dubbi riguardo alcuni concetti su gruppi e sottogruppi ciclici. Andando per gradi, per adesso posto la parte di teoria che non mi è chiara, in seguito posterò l'esercizio. Questa è la frase di teoria che non mi è chiara: Sia \(\displaystyle g \) un elemento di un gruppo \(\displaystyle \left (G, \cdot \right ) \). Può succedere che per qualche \(\displaystyle h \in \mathbb{N} \) sia \(\displaystyle g^h = e \) (elemento neutro di \(\displaystyle G \)): questo accade ...

Sto ancora cercando di digerire gli automorfismi di gruppi =) 1) sia dato $G$ abeliano di ordine 4. Devo costruire $Aut(G)$, cioè gli omomorfismi $G\rightarrowG$. Dunque l'idea che mi sono fatto è innanzitutto che sapendo che $G=<a,b>$, allora gli automorfismi basta che li definisco sulla base (giusto?): - $\phi(a)=\phi(b)=1$ l'omomorfismo banale, è davvero un omomorfismo - $\phi(a)=a, \phi(b)=b$ identità - $\phi(a)=b, \phi(b)=a$ non dovrebbero essercene altri... ...

Esercizio: Costruire tutti i sottogruppi di $A_4$. Suggerimento: sono 10. (Xke 10?) Dunque, $A_4$ è il sottogruppo delle permutazioni pari in $S_4$. Ha indice 2 in $S_4$ e perciò ha ordine $4*3*2/2=12$. I suoi elementi, per Lagrange, hanno ordine un divisore di $12$. Perchè non può avere un elemento di ordine $12$? perchè altrimenti $A_4$ sarebbe ciclico (perchè $A_4$ è sicuramente non ...

Se si considera la sequenza 10 25 45 70 100 135 175 220 ... diversi numeri primi gemelli si possono trovare con la formula (6 x an) + 1 (6 x an) - 1 Ad esempio: a1 = 10 59, 61 a2 = 25 149, 151 Ovviamente non è sempre vero: a18 = 945 5669 (primo), 5671 (non primo) a22 = 1375 8249, 8251 non primi a46 = 5635 33809, 33811 primi gemelli Ci sono altre sequenze simili? Qualcuno è in grado di calcolare squanti primi gemelli si trovano usando i primi 1000 ...

Siano X e Y insiemi finiti e non vuoti. Sia F il numero delle funzioni da X a Y, e S il numero di sottoinsiemi di X. Per quale condizione si verifica che S=F ? Nota: conosco la soluzione del quesito ma non l'ho capita

Sia $G$ un gruppo ed $X$ un sottoinsieme di $G$ i cui elementi sono generatori, cioé generano $G$, ora se non mi sbaglio una presentazione di $G$ con generatori e relazioni, viene indicata con $<X|R>$ dove $X$ è un insieme di generatori di $G$, ed $R$ l'insieme di relazioni tra generatori(uguaglianze), che permettono di ricavare interamente la tabella moltiplicativa di ...

Se $p: X -> (X/R)$ e $q: Y -> (Y/R^{\prime})$ sono proiezioni canoniche su insiemi quoziente, dimostrare che $p times q: X times Y -> (X/R) times (Y/R^{\prime})$ è una suriezione. $p$ e $q$, per definizione di proiezione canonica su insiemi quozienti, sono suriettive e sono definite rispettivamente come $AAx in X, x |-> [x]$ e $AAy in Y, y |-> [y]$. Per ipotesi abbiamo $p times q: X times Y -> (X/R) times (Y/R^{\prime})$ che è suriettiva se e solo se ammette inversa destra, ovvero esiste una funzione $q times p: (X/R) times (Y/R^{\prime}) -> X times Y$ tale che ...

Spiegare perchè il gruppo degli interi $(\mathbb{Z},+)$ non può essere prodotto diretto di due sottogruppi propri. Grazie

A parte la teoria degli insiemi e in generale tutto quello che ruota intorno ai fondamenti della matematica, c'è qualche altro settore della matematica che utilizza insiemi che hanno una cardinalità particolarmente grande (intendo almeno più grande dei numeri reali) ?? Per esempio, tanto per dire, l'insieme delle funzioni di R in se ha cardinalità $2^{2^{N_0}}$. C'è qualche ramo dell'analisi che studia questo insieme? Ho cercato su google per reperire informazioni ma non sapendo bene che ...

Potete aiutarmi con questi esercizi per il test ofa...per favore ! A)La traietoria del punto , la cui distanza dalla retta $x=9$ è due volte la distanza dal punto $A=(3,0)$ è.... 1) $ 6x-4y^2+45 $ 2) $ -3x^2+6x-4y^2+46 $ 3) $ -3x^2-4y^2+45 $ 4) $ -3x^2+6x-4y^2+45 $ B)Uno studente deve rispondere correttamente a 5 domande su 13. Quante scelte ha se deve rispondere obbligatoriamente alle prime ...

Sia $A={1,2,3}$ e $B={-1,0,1,2,3}$ e sia $p(x,y)$ la proposizione aperta "$x$ è minore di $y$", con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ che appartiene a $B$. Se scelgo $x=1$ e $y=2$, la proposizione è verificata e dunque per definizione posso dire che $1$ è in relazione con $2$. Quello che non ho capito è perchè si scrive anche che la coppia ...

Buon giorno a tutti. Aggiungiamo ad un sistema matematico S per cui valgano i teoremi di Goedel (ad es. l'Aritmetica di Peano) l'assioma "S è corretto" (per "corretto" qui intendo "semanticamente corretto", cioè che dimostra solo verità). Apparentemente, il sistema così ottenuto può dimostrare la propria correttezza (in quanto aggiungendo ad un sistema corretto un assioma vero si ha un sistema corretto) e quindi la propria coerenza. Ma un sistema per cui valgano i teoremi di Goedel, se può ...

I forma Dati un insieme \( A \) un elemento \( a\in A \) ed una funzione \( G :A \rightarrow A \) esiste una ed una sola funzione \( f : \omega \rightarrow A \) tale che \( f(0) = a \) e che \( \forall n \in \omega\) \( f(n+) = G(f(n)) \) II forma Dati un insieme \( A \) ed una funzione \( G :A* \rightarrow A \) esiste una ed una sola funzione \( f : \omega \rightarrow A \) tale che \( \forall n \in \omega\) \( f(n) = G(f \upharpoonright n) \) Qual' la differenza tra le due ...

Salve a tutti, mi ponevo un pensiero, non sapendo neache se è lecito porselo... Se una funzione $f:X->Y$, con $X$ dominio di $f$ ed $Y$ codominio di $f$, ha $Im(f)= O/ $ allora $f$ è iniettiva? Io penso di si! Ma è un pensiero giusto? Ringrazio anticipatamente! Cordiali saluti

cari tutti e care tutte ho un problema algebrico che colloco nell'area di geometria perchè esso nasce dal tentativo di trovare l'epressione algebrica delle linee di curvatura su di un paraboloide iperbolico. Si tratta di fattorizzare il seguente polinomio: $16 x^4+16 y^4+16 x^2+16 y^2-32 x^2 y^2+4$ chi mi aiuta?

Salve a tutti, quasi non ci pensavo più, ho avuto modo, 4gg fà, di assistere ad una lezione di logica matematica, ed il docente ci propose una definizione di iniettività un pò strana, noi gli abbiamo detto che non l'avevamo mai incontrata e lui ci disse perchè abbiamo sempre definito quello che poi è una proprietà. La def. è questa: Def.: data una funzione $f:X->Y$, $f$ è iniettiva se $AAy in Y (EE!x in X (<x,y> in f) vv \neg(EEx in X (<x,y> in f)))$ il problema è che non fornisce appunti, e quindi non siamo, nè io nè ...

Allora, si tratta di determinare il polinomio minimo di $\alpha :=sqrtp+sqrtq+sqrtr$ su $\mathbb{Q}$ dove $p,q,r$ sono primi distinti. Con una marea di conti si arriva a trovare un polinomio orrendo di grado 8 che soddisfa $\alpha$, ma non riesco a dimostrare che poi questo sia irriducibile. C'è un modo per dimostrare che il polinomio minimo che cerco ha effettivamente grado 8?Altrimenti, a qualcuno viene in mente un metodo più intelligente e con magari meno conti?

sia $G$ l'insieme dei numeri complessi $z$ tale che $z^n=1$ per qualche intero n. si provi che $G$ è un sottogruppo. io so che $G$ è un sottogruppo se dati $x,y$ appartenenti al sottogruppo, $x*y^-1$ appartiene ancora $G$. ma non so come applicarlo in $z^n$.