[Esercizio] omomorfismo di gruppi (?)
Ho messo il titolo con il punto interrogativo perchè non sono sicuro che sia effettivamente un omomorfismo di gruppi (nel caso attendo correzioni).
Se [tex]\rho : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex] è una funzione che assegna ad ogni intero il suo resto modulo [tex]n[/tex], esiste allora una ed una sola operazione binaria [tex]\oplus[/tex] su [tex]\mathbb{Z}_n =\{\bar{0},\bar{1},...,\bar{n-1}\}[/tex] tale che si abbia [tex]\rho(a+b)=(\rho(a) \oplus (\rho(b))[/tex] per tutti [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex]. Questa operazione [tex]\oplus[/tex] è commutativa, associativa ed ha lo zero come elemento neutro. Per ciascun [tex]\bar{r} \in \mathbb{Z}_n, \exists \bar{r}^' \in \mathbb{Z}_n[/tex] tale che [tex]\bar{r} \oplus \bar{r}^' = \bar{0}[/tex].
Io pensavo di risolverlo in questo modo...
Sia [tex](\mathbb{Z}, +)[/tex] il gruppo additivo degli interi, [tex](\mathbb{Z}, +) \simeq (\mathbb{Z}_n, \oplus)[/tex] è un omomorfismo di gruppi definito dalla funzione [tex]\rho : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex].
L'operazione [tex]\oplus : \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex] è associativa:
[tex](\bar{a} \oplus \bar{b}) \oplus \bar{c} = \bar{a} \oplus (\bar{b} \oplus \bar{c}), \forall \bar{a},\bar{b},\bar{c} \in \mathbb{Z}_n[/tex].
Infatti, posto [tex]\bar{a}=\{a+nh|h \in \mathbb{Z}\}[/tex],[tex]\bar{b}=\{b+nk|k \in \mathbb{Z}\}[/tex] e [tex]\bar{c}=\{c+nl|l \in \mathbb{Z}\}[/tex]:
[tex](\bar{a} \oplus \bar{b}) \oplus \bar{c} =[(a+nh)+(b+nk)]+(c+nl)=(a+b+c)+n(h+k+l)=[/tex]
[tex]=a+(b+c)+n(h+k+l)=\bar{a} \oplus (\bar{b} \oplus \bar{c})[/tex]
L'operazione [tex]\oplus : \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex] è commutativa:
[tex]\bar{a} \oplus \bar{b} = \bar{b} \oplus \bar{a}, \forall \bar{a},\bar{b} \in \mathbb{Z}_n[/tex].
Infatti, posto [tex]\bar{a}=\{a+nh|h \in \mathbb{Z}\}[/tex] e [tex]\bar{b}=\{b+nk|k \in \mathbb{Z}\}[/tex]:
[tex]\bar{a} \oplus \bar{b} =(a+nh)+(b+nk)=(a+b)+n(h+k)=(b+a)+n(h+k)=\bar{b} \oplus \bar{a}[/tex]
Esiste l'elemento neutro additivo [tex]\bar{0} \in \mathbb{Z}_n[/tex] tale che [tex]\bar{a}+\bar{0}=\bar{0}+\bar{a}=\bar{a}, \forall \bar{a} \in \mathbb{Z}_n[/tex]:
[tex](a+nh)+(0+nk)=(a+0)+n(h+k)=a+n(h+k)=\bar{a}[/tex].
Esiste infine l'elemento [tex]\bar{a}^' \in \mathbb{Z}_n[/tex] definito come [tex]\bar{a}^' = \{-a+nh|h \in \mathbb{Z} \}[/tex]:
[tex]\bar{a}+\bar{a}^'=(a+nh)+(-a+nk)=[a+(-a)]+n(h+k)=0+n(h+k)=\bar{0}[/tex].
E' corretta come dimostrazione?
Grazie.
Se [tex]\rho : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex] è una funzione che assegna ad ogni intero il suo resto modulo [tex]n[/tex], esiste allora una ed una sola operazione binaria [tex]\oplus[/tex] su [tex]\mathbb{Z}_n =\{\bar{0},\bar{1},...,\bar{n-1}\}[/tex] tale che si abbia [tex]\rho(a+b)=(\rho(a) \oplus (\rho(b))[/tex] per tutti [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex]. Questa operazione [tex]\oplus[/tex] è commutativa, associativa ed ha lo zero come elemento neutro. Per ciascun [tex]\bar{r} \in \mathbb{Z}_n, \exists \bar{r}^' \in \mathbb{Z}_n[/tex] tale che [tex]\bar{r} \oplus \bar{r}^' = \bar{0}[/tex].
Io pensavo di risolverlo in questo modo...
Sia [tex](\mathbb{Z}, +)[/tex] il gruppo additivo degli interi, [tex](\mathbb{Z}, +) \simeq (\mathbb{Z}_n, \oplus)[/tex] è un omomorfismo di gruppi definito dalla funzione [tex]\rho : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex].
L'operazione [tex]\oplus : \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex] è associativa:
[tex](\bar{a} \oplus \bar{b}) \oplus \bar{c} = \bar{a} \oplus (\bar{b} \oplus \bar{c}), \forall \bar{a},\bar{b},\bar{c} \in \mathbb{Z}_n[/tex].
Infatti, posto [tex]\bar{a}=\{a+nh|h \in \mathbb{Z}\}[/tex],[tex]\bar{b}=\{b+nk|k \in \mathbb{Z}\}[/tex] e [tex]\bar{c}=\{c+nl|l \in \mathbb{Z}\}[/tex]:
[tex](\bar{a} \oplus \bar{b}) \oplus \bar{c} =[(a+nh)+(b+nk)]+(c+nl)=(a+b+c)+n(h+k+l)=[/tex]
[tex]=a+(b+c)+n(h+k+l)=\bar{a} \oplus (\bar{b} \oplus \bar{c})[/tex]
L'operazione [tex]\oplus : \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_n \rightarrow \mathbb{Z}_n[/tex] è commutativa:
[tex]\bar{a} \oplus \bar{b} = \bar{b} \oplus \bar{a}, \forall \bar{a},\bar{b} \in \mathbb{Z}_n[/tex].
Infatti, posto [tex]\bar{a}=\{a+nh|h \in \mathbb{Z}\}[/tex] e [tex]\bar{b}=\{b+nk|k \in \mathbb{Z}\}[/tex]:
[tex]\bar{a} \oplus \bar{b} =(a+nh)+(b+nk)=(a+b)+n(h+k)=(b+a)+n(h+k)=\bar{b} \oplus \bar{a}[/tex]
Esiste l'elemento neutro additivo [tex]\bar{0} \in \mathbb{Z}_n[/tex] tale che [tex]\bar{a}+\bar{0}=\bar{0}+\bar{a}=\bar{a}, \forall \bar{a} \in \mathbb{Z}_n[/tex]:
[tex](a+nh)+(0+nk)=(a+0)+n(h+k)=a+n(h+k)=\bar{a}[/tex].
Esiste infine l'elemento [tex]\bar{a}^' \in \mathbb{Z}_n[/tex] definito come [tex]\bar{a}^' = \{-a+nh|h \in \mathbb{Z} \}[/tex]:
[tex]\bar{a}+\bar{a}^'=(a+nh)+(-a+nk)=[a+(-a)]+n(h+k)=0+n(h+k)=\bar{0}[/tex].
E' corretta come dimostrazione?
Grazie.
Risposte
Beh, \(\displaystyle \mathbb{Z}_n \) è definito, di fatto, come \(\displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) dove \(\displaystyle n\mathbb{Z} \) è il sottogruppo generato da \(\displaystyle n\in \mathbb{Z} \). Direi che l'esercizio risulta un po' ai limiti dell'utilità.
Io ti suggerirei di dimostrare che il quoziente di un gruppo per un suo gruppo normale eredità una struttura di gruppo. I gruppi ciclici sono noiosi
. Comunque a occhio penso vada bene la tua dimostrazione.
Io ti suggerirei di dimostrare che il quoziente di un gruppo per un suo gruppo normale eredità una struttura di gruppo. I gruppi ciclici sono noiosi

Ah! Bene, grazie vict 
Il mio dubbio maggiore era, intanto la questione del titolo (si tratta quindi di omomorfismo?), e poi se la dimostrazione l'avevo impostata e svolta correttamente.

Il mio dubbio maggiore era, intanto la questione del titolo (si tratta quindi di omomorfismo?), e poi se la dimostrazione l'avevo impostata e svolta correttamente.