Applicazione suriettiva/iniettiva/omomorfismo.

[Karozzi]

Salve a tutti, posto il testo di un esercizio che ho provato a fare, ma non riesco proprio a capire se il ragionamento sia giusto.

Sia $s:R^3->R^4$
l’applicazione tale che $s(x,y,z) = (4x+y, 5y, x+z, y+z)$
È suriettiva? Iniettiva? Omomorfismo di spazi vettoriali di R?

Essendo $3<4$ l'applicazione è sicuramente iniettiva, ma non suriettiva (essendo il codominio più grande del dominio è evidente che qualche elemento
del codominio rimarrà scoperto e quindi non è suriettiva).
Per quanto riguarda l'omomorfismo, invece?
Quali passaggi dovrei attuare?
Fino ad ora, è comunque un ragionamento corretto?

Grazie.

[Karozzi]

Scusate, mi è permesso un piccolo "up"?

[Kashaman]

non vorrei sbagliarmi ma forse è piu adatto a spostare il post in algebra lineare e geometria... i think

[killing_buddha]

"Karozzi":Salve a tutti, posto il testo di un esercizio che ho provato a fare, ma non riesco proprio a capire se il ragionamento sia giusto.

Sia $s:R^3->R^4$
l’applicazione tale che $s(x,y,z) = (4x+y, 5y, x+z, y+z)$
È suriettiva? Iniettiva? Omomorfismo di spazi vettoriali di R?

Essendo $3<4$ l'applicazione è sicuramente iniettiva, ma non suriettiva (essendo il codominio più grande del dominio è evidente che qualche elemento del codominio rimarrà scoperto e quindi non è suriettiva).

Cielo, no! Vorresti forse dire che qualsiasi applicazione lineare $R^n->R^N$ e' iniettiva? E quella chicca per intenditori chiamata formula delle dimensioni dove la metti?

Per quanto riguarda l'omomorfismo, invece?
Quali passaggi dovrei attuare?

Scrivere la matrice di $s$ nelle basi canoniche potrebbe essere un ottimo punto di partenza!

Fino ad ora, è comunque un ragionamento corretto?

vuoi la risposta educata o quella schietta?

[Karozzi]

Haha! Ovviamente voglio la risposta schietta, ma credo di aver intuito quale sia!
Scusa ma davvero, basi zero. Portate pazienza!