$Def.$ più formale di alcuni concetti.....
Salve a tutti,
volevo sapere avendo a disposizione le seguenti formule di linguaggio 1°ordine, che formalizzano alcune def.:
$Def.$: $A={x} harr EEx(x in A ^^ AAz(z in A -> z=x))$.
$Def.$: $A={x,y} harr EEx,EEy(x in A ^^ y in A ^^ AAz(z in A -> z=x vv z=y))$.
$Def.$: $B=(x,y) harr AAZ(Z in B harr Z={x} vv Z={x,y})$.
$Def.$: $A$ è una relazione (talvolta si indica con la scrittura $_{rel}A$) $harr AAZ(Z in A ->EEx,EEy(Z=(x,y)))$
come vedasi, in teoria degli insiemi formalizzano il concetto di singoletto, coppia non-ordinata, coppia ordinata, ed relazione binaria, ma volevo sapere, cortesemente, in che modo è possibile formalizzare, usando le suddette def. o formalizzazioni, la proprietà o def. di funzione. In molti testi trovo scritto la seguente formalizzazione:
$Def.$: $A$ è una funzione (talvolta si indica con la scrittura $_{func}A$) $harr$ $A$ è una relazione $^^$ $AAx,AAy,AAz((x,y) in A ^^ (x,z) in A -> y=z)$
ma una formalizzazione come questa è imprecisa a causa della scrittura $(x,y)$ che è formalizzata in realtà con la scrittura $B=(x,y)$, ebbene è proprio qui che incontro difficoltà poichè non riesco ad impostare e a quantificare giustamente la scrittura $B=(x,y)$ nella def. di funzione.
Cordiali saluti
P.S.=Premetto che sò cos'è una funzione, è via dicendo, ma lo sò, come è noto in molti testi, informalmente. L'argomento aperto non ha lo scopo di definire cos'è una funzione ma di formalizzare il concetto di questa con le formalizzazioni presentate all'inizio.
volevo sapere avendo a disposizione le seguenti formule di linguaggio 1°ordine, che formalizzano alcune def.:
$Def.$: $A={x} harr EEx(x in A ^^ AAz(z in A -> z=x))$.
$Def.$: $A={x,y} harr EEx,EEy(x in A ^^ y in A ^^ AAz(z in A -> z=x vv z=y))$.
$Def.$: $B=(x,y) harr AAZ(Z in B harr Z={x} vv Z={x,y})$.
$Def.$: $A$ è una relazione (talvolta si indica con la scrittura $_{rel}A$) $harr AAZ(Z in A ->EEx,EEy(Z=(x,y)))$
come vedasi, in teoria degli insiemi formalizzano il concetto di singoletto, coppia non-ordinata, coppia ordinata, ed relazione binaria, ma volevo sapere, cortesemente, in che modo è possibile formalizzare, usando le suddette def. o formalizzazioni, la proprietà o def. di funzione. In molti testi trovo scritto la seguente formalizzazione:
$Def.$: $A$ è una funzione (talvolta si indica con la scrittura $_{func}A$) $harr$ $A$ è una relazione $^^$ $AAx,AAy,AAz((x,y) in A ^^ (x,z) in A -> y=z)$
ma una formalizzazione come questa è imprecisa a causa della scrittura $(x,y)$ che è formalizzata in realtà con la scrittura $B=(x,y)$, ebbene è proprio qui che incontro difficoltà poichè non riesco ad impostare e a quantificare giustamente la scrittura $B=(x,y)$ nella def. di funzione.
Cordiali saluti
P.S.=Premetto che sò cos'è una funzione, è via dicendo, ma lo sò, come è noto in molti testi, informalmente. L'argomento aperto non ha lo scopo di definire cos'è una funzione ma di formalizzare il concetto di questa con le formalizzazioni presentate all'inizio.
Risposte
up 
Salve a tutti,
ringrazio tutti per le visite, ma, dopo un pò di "scervellamento" in merito, penso di essere giunto ad una conclusione, ovvero:
$Def.$: $A$ è una funzione $harr A$ è una relazione $ ^^$ $AAT(T in A -> EE!x,EEy(T=(x,y)))$.
Ora poiche scrivere $EE!xP(x)$ è equivalente a, nonche l'abbreviato di, scrivere $EEx(P(x) ^^ AAy(P(y) -> y=x))$, si conclude che la def. suddetta sia la seguente, con qualche cosa in più per il nostro scopo:
$Def.$: $A$ è una funzione $harr A$ è una relazione $ ^^$ $AAT(T in A -> EEx,EEy,EEz(T=(x,y) ^^ AAS(S in A ^^ S=(x,z) -> y=z)))$.
Così facendo però le def. del mio precedente messaggio vanno riformulate nel seguente modo:
$Def.$: $A={x} harr (x in A ^^ AAz(z in A -> z=x))$.
$Def.$: $A={x,y} harr (x in A ^^ y in A ^^ AAz(z in A -> z=x vv z=y))$.
$Def.$: $A=(x,y) harr AAZ(Z in A harr Z={x} vv Z={x,y})$.
$Def.$: $A$ è una relazione (talvolta si indica con la scrittura $_{rel}A$) $harr AAZ(Z in A -> EEx,EEy(Z=(x,y)))$
Cordiali saluti
P.S.=Però vorrei magari che qualcuno confermasse il mio ragionamento.
ringrazio tutti per le visite, ma, dopo un pò di "scervellamento" in merito, penso di essere giunto ad una conclusione, ovvero:
$Def.$: $A$ è una funzione $harr A$ è una relazione $ ^^$ $AAT(T in A -> EE!x,EEy(T=(x,y)))$.
Ora poiche scrivere $EE!xP(x)$ è equivalente a, nonche l'abbreviato di, scrivere $EEx(P(x) ^^ AAy(P(y) -> y=x))$, si conclude che la def. suddetta sia la seguente, con qualche cosa in più per il nostro scopo:
$Def.$: $A$ è una funzione $harr A$ è una relazione $ ^^$ $AAT(T in A -> EEx,EEy,EEz(T=(x,y) ^^ AAS(S in A ^^ S=(x,z) -> y=z)))$.
Così facendo però le def. del mio precedente messaggio vanno riformulate nel seguente modo:
$Def.$: $A={x} harr (x in A ^^ AAz(z in A -> z=x))$.
$Def.$: $A={x,y} harr (x in A ^^ y in A ^^ AAz(z in A -> z=x vv z=y))$.
$Def.$: $A=(x,y) harr AAZ(Z in A harr Z={x} vv Z={x,y})$.
$Def.$: $A$ è una relazione (talvolta si indica con la scrittura $_{rel}A$) $harr AAZ(Z in A -> EEx,EEy(Z=(x,y)))$
Cordiali saluti
P.S.=Però vorrei magari che qualcuno confermasse il mio ragionamento.
almeno una conferma
Prima di iniziare il confronto, mi dici su che testo stai studiando la teoria assiomatica degli insiemi, perché credo ci siano delle correzioni da fare alle formule che danno le definizioni iniziali.
Salve WiZaRD,
che tipo di correzioni? Def. diverse? Me le potresti proporre..
Cordiali saluti
"WiZaRd":
ci siano delle correzioni da fare alle formule che danno le definizioni iniziali.
che tipo di correzioni? Def. diverse? Me le potresti proporre..
Cordiali saluti
Salve Wizard,
le mie osservazioni sono state prese dagli appunti del dott. Lorenzo Carlucci:
http://www.dsi.uniroma1.it/~carlucci/In ... S_0809.pdf (pg 43 del testo)
Cordiali saluti
le mie osservazioni sono state prese dagli appunti del dott. Lorenzo Carlucci:
http://www.dsi.uniroma1.it/~carlucci/In ... S_0809.pdf (pg 43 del testo)
Cordiali saluti
Mi ero proprio dimenticato di questo argomento: chiedo scusa.
Nei prossimi giorni do una lettura agli appunti linkati.
Nei prossimi giorni do una lettura agli appunti linkati.
Salve Wizard,
aspetterò una tua osservazione in merito.
Cordiali saluti
aspetterò una tua osservazione in merito.
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":Secondo me c'è un errore nel testo che stai studiando, come facilmente ti puoi rendere conto, deve essere: \(\mathscr{F}\,\text{ è una relazione}\,\land(\forall x\,\forall y\,\forall z(((x;y)\in\mathscr{F}\land (x;z)\in\mathscr{F})\to y=z))\).
...$Def.$: $A$ è una funzione (talvolta si indica con la scrittura $_{func}A$) $harr$ $A$ è una relazione $^^$ $AAx,AAy,AAz((x,y) in A ^^ (z,y) in A -> x=y)$...
P.S.: Ovviamente ho omesso gl'insiemi di appartenenza delle variabili libere \(x;y;z\)!
OUT OF SELF: Non ho letto il resto del thread!
Salve Wizard ed j18eos,
mi scuso per la risposta un pò tardiva, il libro di base è http://books.google.it/books?id=sxr4LrgJGeAC&printsec=frontcover&dq=axiomatic+set+theory&hl=it&sa=X&ei=nKEDT9uRHsfU4QTVrNiqCw&ved=0CDAQ6AEwAA#v=onepage&q=axiomatic%20set%20theory&f=false accompagnato dal http://books.google.it/books?id=pLxq0myANiEC&printsec=frontcover&dq=thomas+jech&hl=it&sa=X&ei=H6EDT5WFJPT04QSm38GNCA&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=thomas%20jech&f=false.
Spero di avere una qualche delucidazione.
Ringrazio anticipatamente.
Cordiali saluti
P.S.=Al tempo stesso ne apporfitto per uppare.
mi scuso per la risposta un pò tardiva, il libro di base è http://books.google.it/books?id=sxr4LrgJGeAC&printsec=frontcover&dq=axiomatic+set+theory&hl=it&sa=X&ei=nKEDT9uRHsfU4QTVrNiqCw&ved=0CDAQ6AEwAA#v=onepage&q=axiomatic%20set%20theory&f=false accompagnato dal http://books.google.it/books?id=pLxq0myANiEC&printsec=frontcover&dq=thomas+jech&hl=it&sa=X&ei=H6EDT5WFJPT04QSm38GNCA&ved=0CDQQ6AEwAA#v=onepage&q=thomas%20jech&f=false.
Spero di avere una qualche delucidazione.
Ringrazio anticipatamente.
Cordiali saluti
P.S.=Al tempo stesso ne apporfitto per uppare.
Ho editato il mio intervento, vedi se ti garba!
Salve j18eos,
stando a quanto scritto nella seguente pagina:
ricavata dal libro http://books.google.it/books?id=sxr4Lrg ... ry&f=false
si potrebbe, corregimi se sbaglio, manipolare la tua def. ed avere la seguente:
$Def.$: $A$ è una funzione $↔$ $A$ è una relazione $∧ ∀x,∀y,∀z(((x;y);(z;y))∈A→x=y)$ ??
Cordiali saluti
p.s.=ovviamente ho tralasciato gli insiemi di appartenenza di $x,y,z$
"j18eos":
Ho editato il mio intervento, vedi se ti garba!
stando a quanto scritto nella seguente pagina:
ricavata dal libro http://books.google.it/books?id=sxr4Lrg ... ry&f=false
si potrebbe, corregimi se sbaglio, manipolare la tua def. ed avere la seguente:
$Def.$: $A$ è una funzione $↔$ $A$ è una relazione $∧ ∀x,∀y,∀z(((x;y);(z;y))∈A→x=y)$ ??
Cordiali saluti
p.s.=ovviamente ho tralasciato gli insiemi di appartenenza di $x,y,z$
Ho ri-modificato il mio intervento, credo che ora sia ancora più chiaro!
Quella che definisci in quel modo è, in definitiva, il concetto di funzione iniettiva!
Quella che definisci in quel modo è, in definitiva, il concetto di funzione iniettiva!
Salve j18eos,
e su questo sono d'accordo...
però il mio problema era un altro, ovvero data la seguente def:
$Def.$: $B=(x,y) harr AAZ(Z in B harr Z={x} vv Z={x,y})$.
in che modo si potrebbe formalizzare la def di funzione.. ovvero la seguente:
$Def.$: $A$ è una funzione $harr$ $A$ è una relazione $^^$ $AAx,AAy,AAz((x,y) in A ^^ (x,z) in A -> y=z)$
utilizzando la def. di coppia ordinata come $B=(x,y)$ e non come $(x,y)$
????
Cordiali saluti
P.S.=Per il tuo intervento precedntement editato, solamente ora mi sono accorto dell'errore da te individuato, esso era dovuto alla mia distrazione nel momento della scrittura. Grazie mille!
"j18eos":
Ho ri-modificato il mio intervento, credo che ora sia ancora più chiaro!
Quella che definisci in quel modo è, in definitiva, il concetto di funzione iniettiva!
e su questo sono d'accordo...
però il mio problema era un altro, ovvero data la seguente def:
$Def.$: $B=(x,y) harr AAZ(Z in B harr Z={x} vv Z={x,y})$.
in che modo si potrebbe formalizzare la def di funzione.. ovvero la seguente:
$Def.$: $A$ è una funzione $harr$ $A$ è una relazione $^^$ $AAx,AAy,AAz((x,y) in A ^^ (x,z) in A -> y=z)$
utilizzando la def. di coppia ordinata come $B=(x,y)$ e non come $(x,y)$
????
Cordiali saluti
P.S.=Per il tuo intervento precedntement editato, solamente ora mi sono accorto dell'errore da te individuato, esso era dovuto alla mia distrazione nel momento della scrittura. Grazie mille!
UP UP
up
Ancora non ci siamo, quella che tu chiami \(A\) è la definizione di funzione iniettiva; poi non capisco, avendo definito il concetto di coppia ordinata, la definizione di funzione segue da sé! 
Salve j18eos,
pardon
, ero convinto che la scorsa volta lo avevo corretto del tutto invece mi ero dimenticato una correzione, ora l'ho fatta sperando di non aver definito una funzione iniettiva, corregimi se sbaglio, in caso contrario potresti confermare?
Cordiali saluti
pardon
, ero convinto che la scorsa volta lo avevo corretto del tutto invece mi ero dimenticato una correzione, ora l'ho fatta sperando di non aver definito una funzione iniettiva, corregimi se sbaglio, in caso contrario potresti confermare?Cordiali saluti
Ora la definizione è corretta è corretta anche la definizione di coppia ordinata cosa resta da fare?
è corretta anche la definizione di coppia ordinata cosa resta da fare?
Salve j18eos,
come vedi nella def. di funzione, tralasciando gli insiemi di appartenenza, si usa per la coppia ordinata la scrittura $(x,y)$, ma io nelle mie definizioni l'ho definita con la scrittura $B=(x,y)$, ebbene come faccio a ridefinire il concetto di funzione utilizzando la scrittura, per la coppia ordinata, come da me definita, ovvero $B=(x,y)$, e non $(x,y)$.
Spero di essermi spiegato.
Cordiali saluti
come vedi nella def. di funzione, tralasciando gli insiemi di appartenenza, si usa per la coppia ordinata la scrittura $(x,y)$, ma io nelle mie definizioni l'ho definita con la scrittura $B=(x,y)$, ebbene come faccio a ridefinire il concetto di funzione utilizzando la scrittura, per la coppia ordinata, come da me definita, ovvero $B=(x,y)$, e non $(x,y)$.
Spero di essermi spiegato.
Cordiali saluti
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