Problemi su equazioni con quaternioni
Salve ragazzi, ho incontrato dei problemi nella risoluzione di questo esercizio sui quaternioni, qualcuno potrebbe gentilmente indirizzarmi verso la soluzione? L'esercizio è questo:
Sia $\A \$ il sottoanello di $\mathbb{H}$ generato da $\i \$ e $\j \$.
Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni in $\A\$:
$\q^2+9=0 \$;
$\q^2+17=0 \$;
$\q^2+41=0 \$;
$\q^2+29=0 \$;
Non serve la risoluzione di tutte e 4, mi basta capire il ragionamento...ad esempio, nel primo, devo trovare tutte le quadrule $\q $ di $\mathbb{R^4} $ del tipo $\(a,b,c,d)$ con norma $\-9 \$ e con $\a $ e $\d \$ nulle?
Scusate, ma è la prima volta che incontro un problema del genere, e non so bene come affrontarlo...
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!
Sia $\A \$ il sottoanello di $\mathbb{H}$ generato da $\i \$ e $\j \$.
Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni in $\A\$:
$\q^2+9=0 \$;
$\q^2+17=0 \$;
$\q^2+41=0 \$;
$\q^2+29=0 \$;
Non serve la risoluzione di tutte e 4, mi basta capire il ragionamento...ad esempio, nel primo, devo trovare tutte le quadrule $\q $ di $\mathbb{R^4} $ del tipo $\(a,b,c,d)$ con norma $\-9 \$ e con $\a $ e $\d \$ nulle?
Scusate, ma è la prima volta che incontro un problema del genere, e non so bene come affrontarlo...
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!
Risposte
Le equazioni hanno la forma $q^2 +m=0$ per qualche $m\in\R_{\ge 0}$.
Ci serve il seguente lemma. Sia $q\mapsto \bar{q}$ l'involuzione quaternionica.
In particolare, per ogni $q\in H$, la norma $q\bar{q}$ e' una somma
di quattro quadrati ed e' quindi un numero reale $\ge 0$.
Lemma. Sia $q\in\H$. Allora $\bar{q}= -q$ se e solo se $ q^2 \in\R_{\le 0}$.
Dimostrazione. Se $\bar{q}= -q$ allora $q^2=-q\bar{q}$ sta in $\R_{\le 0}$.
Viceversa, se $q^2 \in\R_{\le 0}$, allora si ha che
$q^2 = \bar{q}^2$ e quindi, visto che $q$ e $\bar{q}$ commutano, che
$(q-\bar{q})\cdot(q+\bar{q}) = 0.$
Se $\bar{q}$ non e' uguale a $-q$, allora $q=\bar{q}$ e quindi $q^2=q\bar{q}$ e'
in $\R_{\ge 0}$. Visto che $q^2\in R_{\le 0}$ abbiamo che $q=0$
e banalmente $\bar{q}= -q$ e ci siamo.
----
Per il lemma una soluzione $q\in\H$ di una delle equazioni soddisfa
quindi $\bar{q}= -q$. In altre parole $q$ e' un quaternione puro, vale a dire
$q= bi+cj+dk$ per certi $b,c,d\in\R$.
La "parte reale $a$" e' zero diciamo.
Si ha quindi che $m=-q^2=q\bar{q}=b^2+c^2+d^2$ e l'equazione diventa
$b^2+c^2 +d^2 = m$.
Per ogni $m>0$ le soluzioni $(b,c,d)\in\R^3$ formano una sfera.
Pero', si cercano solo soluzioni $q$ nell'anello $A$ generato da $i,j$.
Poiche' l'anello $A$ consiste in elementi di $\Z[i,j,k]$,
i coefficienti $b,c,d$ devono essere interi.
Il problema e' quindi di trovare tutti i modi possibili per scrivere
$m=9$, $17$, $41$ e $29$ come somma di tre quadrati interi.
Per ogni $m$ si tratta di un problema finito. Per esempio, a meno
di segni e permutazioni le uniche possibilita' per $m=9$ sono
$9=0^2+0^2+3^2$ e $9=1^2+2^2+2^2$.
Ci serve il seguente lemma. Sia $q\mapsto \bar{q}$ l'involuzione quaternionica.
In particolare, per ogni $q\in H$, la norma $q\bar{q}$ e' una somma
di quattro quadrati ed e' quindi un numero reale $\ge 0$.
Lemma. Sia $q\in\H$. Allora $\bar{q}= -q$ se e solo se $ q^2 \in\R_{\le 0}$.
Dimostrazione. Se $\bar{q}= -q$ allora $q^2=-q\bar{q}$ sta in $\R_{\le 0}$.
Viceversa, se $q^2 \in\R_{\le 0}$, allora si ha che
$q^2 = \bar{q}^2$ e quindi, visto che $q$ e $\bar{q}$ commutano, che
$(q-\bar{q})\cdot(q+\bar{q}) = 0.$
Se $\bar{q}$ non e' uguale a $-q$, allora $q=\bar{q}$ e quindi $q^2=q\bar{q}$ e'
in $\R_{\ge 0}$. Visto che $q^2\in R_{\le 0}$ abbiamo che $q=0$
e banalmente $\bar{q}= -q$ e ci siamo.
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Per il lemma una soluzione $q\in\H$ di una delle equazioni soddisfa
quindi $\bar{q}= -q$. In altre parole $q$ e' un quaternione puro, vale a dire
$q= bi+cj+dk$ per certi $b,c,d\in\R$.
La "parte reale $a$" e' zero diciamo.
Si ha quindi che $m=-q^2=q\bar{q}=b^2+c^2+d^2$ e l'equazione diventa
$b^2+c^2 +d^2 = m$.
Per ogni $m>0$ le soluzioni $(b,c,d)\in\R^3$ formano una sfera.
Pero', si cercano solo soluzioni $q$ nell'anello $A$ generato da $i,j$.
Poiche' l'anello $A$ consiste in elementi di $\Z[i,j,k]$,
i coefficienti $b,c,d$ devono essere interi.
Il problema e' quindi di trovare tutti i modi possibili per scrivere
$m=9$, $17$, $41$ e $29$ come somma di tre quadrati interi.
Per ogni $m$ si tratta di un problema finito. Per esempio, a meno
di segni e permutazioni le uniche possibilita' per $m=9$ sono
$9=0^2+0^2+3^2$ e $9=1^2+2^2+2^2$.
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